виведемо формулу, яка дасть можливість нанести на координатну площину конкретні точки, а саме, визначимо значення, де k - натуральне число.
Візьмемо відоме розкладання, де - знамениті числа Бернуллі (по суті, через нього ці числа і визначаються). Перенесемо доданок в ліву частину рівності. Зліва отримуємо cth, а в правій частині -, тобто cth. Замінюємо на, отримуємо cth. p> З іншого боку, існує рівність cth, з якого cth. Підстановкою замість знаходимо cth. Якщо, то для будь-якого N і по теоремі про складання нескінченної кількості статечних рядів cth. p> Прирівняємо отримані розкладання:
, отже. Звідси негайно слід бажана формула
(4), де - k -е число Бернуллі. Вона зручна тим, що ці числа добре вивчені і для них складено великі таблиці. p> Тепер, виходячи з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функції Рімана, досить добре відображає її поведінку на всій області визначення.
В
Леонард Ейлер, вперше розглянув дзета-функцію, отримав чудове розкладання її в нескінченний добуток, яке іноді теж приймають за визначення:
, де p i - i -е просте число (4).
Доведемо тотожність ряду (1) і твори (4). Згадавши формулу суми геометричної прогресії, отримуємо рівність
Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, що відповідають всім простим числам, що не перевершує заданого натурального числа N , то вийшло часткове твір виявиться рівним, де символ * означає, що підсумовування поширюється не на всі натуральні числа, а лише на ті з них (не рахуючи одиниці), які у своєму розкладанні містять тільки прості числа менші N . Так як перші N натуральних чисел цією властивістю володіють, то
(5). p> СумаВ містить не всі числа, великі N +1, тому, очевидно,. З (5) одержуємо
(6). p> Зважаючи збіжності ряду (1), вираз справа, представляє його залишок після N -го члена, прагне до нуля при N прагнуть до нескінченності, а є твір (4). Значить із нерівності при, що й потрібно було довести.
Формула (4) важлива тому, що вона пов'язує натуральний ряд, представлений безліччю значень аргументу дзета-функції, з безліччю простих чисел. Ще один крок у цьому напрямку ми зробимо, оцінивши, а саме показавши, що, де залишається обмеженим при. p> З (4) випливає, що, де N , а при. Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді. Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд:. Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємоВ . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що. Остання рівність справедливо, так як. Далі, очевидно,, що і завершує доказ.
На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Рімана для дійсного аргументу, так як найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другій чолі.
В В В В В
Глава 2....
