Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Рімана, були отримані в припущенні, що її аргумент s - дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження й численні важливі програми стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Вперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Ріман, глибоко вивчив її властивості і широко застосовував її в теорії чисел. На честь нього функція отримала свою назву. p> Для комплексної дзета-функції залишається в силі ухвалу, дане в розділі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде C . Виникає необхідність знайти нову область визначення. З цією метою доведемо наступне твердження: у півплощині (дійсна частина числа x ) ряд
(1) сходиться абсолютно. p> Нехай. Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1),. Перший множник містить тільки речовинні числа і, так як. До другого ж множнику застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо. Значить,. Через збіжність ряду при О±> 1, маємо абсолютну збіжність ряду (1). p> На своїй області визначення дзета-функція аналитична. Дійсно, при всякому q > 0 і фіксованому О±> 1 + q , числовий ряд мажорірует ряд з абсолютних величин, де, звідки, по теоремі Вейєрштрасса, треба рівномірна збіжність ряду в півплощині. Сума ж рівномірно сходиться ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією. p> Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Докази зазнають незначних перетворення, пов'язані з переходом до абсолютних величин. p> У зв'язку з цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції в добуток, де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що. Застосуємо його до доказу відсутності у функції коренів.
Оцінимо величину, використовуючи властивість модуля:, де як звичайно. Так як, то, а, отже, дзета-функція в нуль НЕ звертається.
Питання про нулі дзета-функції, а також інші прикладні питання отримують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції і виведемо її функціональне рівняння, що характеризує й однозначно визначальнеВ . p> Для цього нам знадобиться формула
(2), яка виводиться в такий спосіб. Використовуючи властивості інтегралів можна записати. Для будь-якого d при, значить і, а. . Отже,. Інтеграл можна знайти інтегруванням по частинах, приймаючи,; тоді, а. У результаті. Віднімемо з цього інтеграла попередній і отримаємо, звідси легко треба рівність (2).
Тепер покладемо в (2),, a і b - цілі позитивні числа. Тоді. Нехай спочатку, приймемо a = 1, а b устремим до нескінченності. Отримаємо. Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:
(3). p> Вираз є обмеженим, так як, а функ...
