Міністерство освіти Російської Федерації
Ставропольський Державний університет
Кафедра математичного аналізу
Курсова робота на тему:
В«дзета-функції Рімана В»
Виконав: студент 2 го курсу ФМФ групи В«БВ» Симонян Сергій Олегович
Ставрополь, 2004 р.
Введення.
Функція - одне з основних понять у всіх природничонаукових дисциплінах. Не випадково ще в середній школі діти отримують інтуїтивне уявлення про це поняття. Зі шкільної лави наш багаж знань поповнюється відомостями про такі функції як лінійна, квадратична, статечна, показова, тригонометричні та інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні і гіперболічні функції, Ейлерови інтеграли (гама-і бета-функції), тета-функції, функції Якобі і багато інших.
Що ж таке функція? Точного визначення для неї не існує. Це поняття є в математиці первинним, аксіоматізіруется. Однак, під функцією розуміють закон, правило, за яким кожному елементу якогось безлічі X ставиться у відповідність один або кілька елементів безлічі Y . Елементи безлічі X називаються аргументами, а безлічі Y - значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначної, якщо більше одного - то багатозначною. Синонімом функції є термін В«відображенняВ». У найпростішому випадку безліч X може бути підмножиною поля дійсних R або комплексних C чисел. Тоді функція називається числовий. Нам будуть зустрічатися тільки такі відображення. p> Функції можуть бути задані багатьма різними способами: словесним, графічним, за допомогою формули. Функція, яку ми будемо розглядати в цій роботі, задається через нескінченний ряд. Але, незважаючи на таке нестандартне визначення, за своїм поданням у вигляді ряду вона може бути добре вивчена методами теорії рядів і плідно застосована до різних теоретичних і прикладних питань математики та суміжних з нею наук.
Звичайно ж, мова йде про знамениту дзета-функції Рімана, що має найширші застосування в теорії чисел. Вперше ввів її в науку великий швейцарський математик і механік Леонард Ейлер і одержав багато її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функції німецький математик Бернгард Ріман. На честь нього вона отримала свою назву, так як він опублікував кілька виключно видатних робіт, присвячених цієї функції. У них він поширив дзета-функцію на область комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу для знаходження цього числа за участю функції і висловив свою гіпотезу про нулі дзета-функции, над доказом або спростуванням якої безрезультатно б'ються кращі уми людства вже майже 150 років. p> Наукова...
