ідшукання власних функцій квадрата моменту, записаного в сферичних координатах. При цьому, власні функції моменту виявляються нічим іншим, як певним чином нормованими сферичними функціями. p> У даному прикладі ми графічно представимо власні функції стаціонарних станів і обговоримо деякі їх властивості. p> Отже, нам відомо, що повна хвильова функція = розкладається на три частини і, тому, розглянемо ці частини окремо. p> Кутова частина хвильової функції
Власна функція третьої проекції оператора моменту дорівнює. У позначеннях Maple це виглядає наступним чином
> restart:
> Phi: = (2 * Pi) ^ (-1/2) * exp (I * m * phi);
В
Зауважимо відразу, що дані функції є ортонормированного
> int (evalc (Phi * conjugate (Phi)), phi = 0 .. 2 * Pi);
В
і, тому, ми просто не будемо враховувати цей множник далі при обчисленні повної хвильової функції.
Продовжуючи вивчення кутовий частини повної власної функції, введемо поліноми Лежандра, використовуючи узагальнену формулу Родріга
Г? P: = (l, x) -> if l <> 0 then 1/(2 ^ l * l!) * diff ((x ^ 2-1) ^ l, x $ l) else 1 fi;
В В В
З точки зору програміста ми написали процедуру з ім'ям P (l, x) , яка залежить від двох аргументів l і x . p> З іншого боку, ми могли б використовувати вбудовану процедуру з пакету orthopoly для визначення цих поліномів.
Для прикладу, подивимося, як виглядає один з поліномів Лежандра
> collect (P (5, x), x);
В
Приєднані поліноми Лежандра першого роду визначаються аналогічним чином
> P1: = (l, m, x) ->
if m = 0 then P (l, x) else (1-x ^ 2) ^ (m/2) * diff (P ​​(l, x), x $ m) fi:
Введемо стандартну заміну аргументу і задамо необхідну нормировку для сферичних гармонік
> Theta: = d-> sqrt ((2 * l +1) * (lm)!/(l + m)!) * subs (d = cos (theta), P1 (l , m, d));
В
Тепер визначимо сферичні гармоніки
> Y: = d-> Theta (d) * Phi:
які є комплексними функціями. Для прикладу побудуємо графіки і уявною частин сферичних гармонік
> with (Plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> l: = 3: m: = 1:
sphereplot (Re (Y (d)), phi = 0 .. 2 * Pi, theta = 0 .. Pi, scaling = constrained,
grid = [15,100], axes = framed, title = ` Речова частина при l = 3, m = 1 `);
В
> l: = 4: m = 0:
sphereplot (Im (Y (d)), phi = 0 .. 2 * Pi, theta = 0 .. Pi, scaling = constrained,
grid = [15,100], axes = framed, title = ` ...
