есічними прямий і окружністю. p> Доведемо спочатку, що для будь-яких прямих кут Гђa, b збігається з кутом між invOR (a) і invOR (b). Затвердження очевидно, якщо прямі проходять через точку O. Нехай тепер O ГЋ a і O ГЏ b (рис. 6). Позначимо через w1 окружність, в яку переходить пряма b, і через b1 - Дотичну до w1 в точці O. Так прямі b і b1 перпендикулярні одного й того ж діаметру, то вони паралельні. Тому кут між a і w1, рівний за визначенням кутку між a і b1, збігається з кутом Гђa, b. Міркування аналогічні і у випадку, коли O ГЏ aГ€b (Треба розглянути дотичні до кіл invOR (a) і invOR (b) в точці O). p>
Рис. 6
Оскільки кут між колами і між прямою і окружністю визначався через дотичні, то доказ інших двох тверджень легко зводяться до випадку збереження кута між прямими. p> Основою вирішення цілого ряду геометричних проблем є вдале застосування того чи іншого перетворення площині. При цьому ми вважаємо використання якого-небудь перетворення вдалим, якщо образи розглянутих фігур піддаються простому геометричному аналізу. У задачі Фаньяно1, наприклад, сторони трикутника найменшого периметра виходять з відрізка прямий серією осьових симетрій. При знаходженні точки Ферма2 схожа ідея реалізується за допомогою повороту на 60 В°. У наступних параграфах спробуємо з'ясувати наскільки здатність до спрощення властива інверсії. Цей параграф закінчимо рішенням проблеми A. p> Рішення A. Позначимо через A, B, C, і D відповідно крапки торкання w1Г‡w2, w2Г‡w3, w3Г‡w4 і w4Г‡w1. Зробимо інверсію з центром в O = A щодо кола деякого радіуса R. За властивості VIII і IX отримаємо пару паралельних прямих a = invOR (w1), b = invOR (w2) і пару стосуються кіл w3 Вў = invOR (w3) і w4 Вў = invOR (w4) (рис. 7). p>
Рис. 7
Неважко помітити, що точки дотику вихідних кіл, за винятком точки A (яку інверсія закине в нескінченність), відобразяться в точки дотику образів. Доведемо тепер, що B Вў, C Вў і D Вў лежать на одній прямій. Так як (KB Вў) | | (LD Вў), то ГђB Вў KC Вў = ГђC Вў LD Вў. Звідси випливає рівність ГђKC Вў B Вў = ГђLC Вў D Вў (DKC Вў B Вў і DLC Вў D Вў є рівнобокими), тому B Вў, C Вў і D Вў лежать на одній прямій. Позначимо цю пряму через c і подіємо на неї знову інверсією invOR. Її образ - це окружність invOR (c), яка проходить через центр інверсії, точку A, а також через точки B = invOR (B Вў), C = invOR (C Вў) і D = invOR (D Вў). h2> Геометрія Мора-Маськероні
Теорія побудови одним циркулем отримала свою популярність завдяки книзі "Геометрія циркуля" (1797 р.) Лоренцо Маскероні3. Значно пізніше в одному з букіністичних магазинів була виявлена ​​книга данського математика Георга Мора "Датський Евклід", датована 1672 роком! Обидві книги містять основний результат геометрії циркуля:
Теорема Мора-Маськероні. Всі побудови, виконані з допомога циркуля і лінійки, можуть бути пророблені тільки за допомогою циркуля (при цьому ми вважаємо пряму побудованої, якщо знайдені хоча б дві точки ц...
