ієї прямий). p> Для доказу цієї теореми достатньо навчитися знаходити тільки за допомогою циркуля перетину двох прямих, прямої та кола, що і складає проблему D. Спочатку розглянемо вирішення завдань B і C, які носять допоміжний характер. p> Рішення B. Щоб розділити відрізок [AB] на n рівних частин, спочатку збільшимо його в n разів, тобто знайдемо точку C, що | AC | = n | AB |. А потім побудуємо точку C Вў - образ точки C при інверсії щодо кола w (A, | AB |). Зі співвідношення | AC | В· | AC Вў | = | AB | 2 отримуємо | AC Вў | = | AB |/n. Всі зазначені побудови можна виконати тільки з допомогою циркуля (для цього навіть не потрібна пряма (AB)). p> Рішення C. Виберемо довільну точку O кола w1 (X, r), центр X якої нам потрібно визначити (рис. 8). p>
Рис. 8
З точки O проведемо довільну окружність w (O, R) так, щоб вона перетинала вихідну окружність w1. Позначимо точки перетину wГ‡w1 через A і B. Куди перейде пряма (AB) при інверсії invOR? Звичайно ж у w1, оскільки точки A і B залишаються нерухомими (Властивості II і VI). По властивості VII центр invOR ((AB)) (Тобто центр w1) є образом точки S (AB) (O) при invOR. З цих міркувань випливає ланцюжок необхідних побудов. Спочатку знаходимо точку O1 = S (AB) (O), симетричну O відносно прямої (AB) (шкільна задача). А потім будуємо образ точки O1 при invOR, він і буде шуканим центром. Всі зазначені побудови виконуються тільки з допомогою циркуля. p> Рішення D. Опишемо пошук перетину двох прямих тільки за допомогою циркуля. Нехай дано точки A, B, C і D (рис. 9). p>
Рис. 9
Виберемо точку O так, щоб вона не лежала на прямих a = (AB) і b = (CD). При інверсії invOR прямі a і b повинні перейти в окружності invOR (a) і invOR (b), а їх точка перетину відобразиться в точку перетину кіл invOR (a) і invOR (b), відмінну від точки O (властивості VI і I). Тепер необхідні побудови стають очевидними: за допомогою властивості VII будуємо окружності invOR (a) і invOR (b), знаходимо точку перетину цих кіл - точку X, і знову діємо інверсією вже на точку X. Точка Y = invOR (X) є шуканої. Перетин прямої і кола знаходиться схожим чином. p> Тепер терема Мора-Маськероні випливає з рішень завдань B, C і D. h2> Задача Аполлонія
У цьому параграфі розглянемо завдання про побудову окружності, що стосується трьох даних кіл, названу на честь найбільшого спеціаліста з конічним перетинах давнину Аполлонія Пергского4. Вирішенню проблеми G передують вирішення завдань E і F. p> Рішення E. Щоб побудувати коло w2, проходить через крапки A і B і що стосується даної кола w1, розглянемо інверсію з центром в точці O = A щодо кола довільного радіуса R. Образом w2 при інверсії invOR повинна бути деяка пряма a, що проходить через точку B Вў = invOR (B) і що стосується окружності invOR (w1) (Властивості VIII і IX). Дотичні з довільної точки X до довільної окружності w (Y, r) провести досить легко: для цього досить побудувати допоміжну окружність w Вў на діаметрі [XY] і з'є...
