овільну пряму пройде, якщо взяти до уваги нескінченно віддалену крапку. Кожна пряма проходить через ВҐ. Тому перехід ВҐ в точку O змушує кінці прямої стискатися до точки O. Наступне властивість дозволяє визначити центр кола, яка є чином прямий з властивості VI. p> VII. Нехай w1 = invOR (a). Позначимо через O1 = Sa (O), де Sa - осьова симетрія з віссю a (рис. 4). Тоді центром кола w1 є точка O1 Вў = invOR (O1). p> Зберігаючи прийняті в попередньому властивості позначення, маємо | OO1 | = 2 | OA |. Підставляючи це в рівність | OA | В· | OA Вў | = R2 = | OO1 | В· | OO1 Вў | отримуємо | OO1 Вў | = | OA Вў |/2. Тому точка O1 Вў є серединою відрізка [OA Вў]. p> VIII. Окружність w1 (O1, r), проходить через центр інверсії, відображається на деяку пряму a. Більш того, якщо A - кінець діаметра, що проходить через O і O1 (A В№ O), то пряма a проходить через точку A Вў = invOR (A) і перпендикулярна прямий (OO1). p> Справедливість цієї властивості відразу випливає з властивостей III і VI. p> IX. Окружність w1 (O1, r1), що не проходить через центр інверсії, відображається при invOR на деяку окружність w2 (O2, r2). Точніше, якщо точки A і B є кінцями діаметра, лежачого на прямий (OO1) (рис. 5), то відрізок [A Вў B Вў] є діаметром кола w2 (A Вў = invOR (A), B Вў = invOR (B)). p>
Рис. 5
Для доказу розглянемо довільну точку C окружності w1 і покажемо, що C Вў = invOR (C) ГЋ w2. З властивості IV маємо рівності ГђOCA = ГђOA Вў C Вў і ГђOCB = ГђOB Вў C Вў. Тому ГђA Вў C Вў B Вў = ГђOB Вў C Вў - ГђOA Вў C Вў = ГђOCB-ГђOCA = 90 В°. Отже C Вў ГЋ w2. p> Чи переходить центр O1 в центр образу w2, точку O2? Ніколи (переконаєтеся в цьому за допомогою прямих обчислень, тобто доведіть, що O1 Вў = invOR (O1) не може бути серединою [A Вў B Вў]). Цей "недолік" інверсії з лишком компенсується чудовим її властивістю зберігати величину кута. Нагадаємо, що кут між пересічними колами за визначенням дорівнює куту між дотичними до цих окружностях в точці їх перетину. Аналогічно визначається і кут між пересічними прямий і окружністю. Розглянемо окремий випадок: для двох стосуються кіл w1 і w2 визначимо величину кута між invOR (w1) і invOR (w2). Вид образів invOR (w1) і invOR (w2) під чому залежить від положення точки O стосовно кіл w1 і w2. Так, якщо O ГЏ w1Г€w2, то з властивостей I і IX отримуємо, що invOR (w1) і invOR (w2) є стосуються колами. Якщо ж O лежить тільки на одній з околиць, наприклад на w1, то з властивостей I, VIII і IX отримаємо стосуються пряму invOR (w1) та коло invOR (w2). І, нарешті, якщо O збігається з точкою дотику кіл, то invOR (w1) і invOR (w2) є паралельними прямими (величина кута між паралельними прямими по визначенню дорівнює нулю). Отже, в кожному з випадків, величина кута між invOR (w1) і invOR (w2) дорівнює нулю. Аналогічно можна встановити, що якщо прямі a і b паралельні, то величина кута між invOR (a) і invOR (b) також дорівнює нулю. p> X. Інверсія зберігає величину кута між прямими, пересічними колами, пер...
