узагальненого ряду Фур'є:
В
Виділимо конкретний вид функції, для розкладання в ряд сигналу. В якості такої функції виберемо ортогональну систему функцій:
В
Для визначення ряду обчислимо значення:
В
, так як
Таким чином, отримаємо:
, де
В
Графічно даний ряд представляється у вигляді двох графіків амплітудних гармонійних складових.
Отриманий вираз можна представити у вигляді:
де;
Отримали другу форму запису тригонометричного ряду Фур'є. Графічно даний ряд представляється у вигляді двох графіків - амплітудного і фазового спектрів. p> Знайдемо комплексну форму ряду Фур'є, для цього скористаємося формулами Ейлера:
В
або
,
де
Графічно спектр у цій формі представлений на осі частот у діапазоні.
Очевидно, що спектр періодичного сигналу, виражений в комплексній або амплітудної формі - дискретний. Це означає, що в спектрі є складові з частотами
.2 Спектральні характеристики непериодического сигналу
Так як в якості непериодического сигналу в радіотехніці розглядають одиночний сигнал, то для знаходження його спектру представимо сигнал як періодичний з періодом. Скористаємося перетворення ряду Фур'є для даного періоду. Отримаємо для:
В
Аналіз отриманого виразу показує, що при амплітуди складових стають нескінченно малими і на осі частот вони розташовані безперервно. Тоді, що б вийти з цього положення скористаємося поняттям спектральної щільності:
В
Підставимо отриманий вираз в комплексний ряд Фур'є, отримаємо:
В
Остаточно отримаємо:
В
Тут - спектральна щільність, а саме вираження - пряме перетворення Фур'є. Для визначення сигналу з його спектру використовують зворотне перетворення Фур'є:
В
1.3 Властивості перетворення Фур'є
З формул прямого і зворотного перетворень Фур'є, очевидно, що якщо зміниться сигнал, то зміниться і його спектр. Наступні властивості встановлюють залежність спектру зміненого сигналу, від спектру сигналу до змін. p align="justify">) Властивість лінійності перетворення Фур'є
В
, тобто
В
Отримали, що спектр суми сигналів дорівнює сумі їх спектрів.
) Спектр сигналу зрушеного в часі
В В В
Отримали, що при зсуві сигналу амплітудний спектр не змінюється, а змінюється тільки фазовий спектр на величину
) Зміна масштабу часу
В В
т.е при розширенні (звуженні) сигналу в кілька разів спектр цього сигналу звужується (розширюється).
) Спектр зміщення
В В
) Спектр похідною від сигналу
В
Візьмемо похідну від лівої і правої частини зворотного перетворення Фур'є. br/>В В
Бачимо, що спектр...
