ого числа по модулю р, то а-В«квадратичний відрахуванняВ», якщо ж ніяке число в квадраті не порівнянно з а за модулем р, то а-В«квадратичний невирахуваньВ».
Якщо а - квадратичний відрахування по модулю р, то порівняння а (mod р) має в точності два рішення. Дійсно, якщо а - квадратичний відрахування по модулю р, то порівняння а (mod р) є хоча б одне рішення (mod p). Тоді - теж рішення, адже =. Ці два рішення не порівняні по модулю р> 2, так як з (mod p) слід 2 (mod p), тобто (Оскільки р2) (mod p), що неможливо, бо а0. Оскільки порівняння а (mod р) є порівняння другого ступеня по простому модулю, то більше двох рішень воно мати не може. p> Наведена система відрахувань
, ..., -2, -1, 1, 2, ...,
За модулем р складається з квадратичних лишків, порівнянних з числами,, ...,, і квадратичних невирахувань, тобто відрахувань і невирахувань порівну.
Дійсно, квадратичні відрахування порівняти з квадратами чисел
, ..., -2, -1, 1, 2, ...,,
тобто з числами,, ...,, при цьому всі ці квадрати різні за модулем р, бо з (mod p), де 0
Фраза В«Число а є квадратичним вирахуванням (або невирахувань) за модулем рВ» кілька задовга. Адрієн - Марі Лежандр запропонував вихід, ввівши в розгляд зручний символ (замінює довгу фразу. Цей символ носить тепер прізвище Лежандра і читається: В«символ Лежандра а по пеВ». p> Визначення. Нехай а не кратне р. Тоді символ Лежандра визначається так:
В
Теорема (критерій Ейлера). Нехай а не кратне р. Тоді
) (mod p)
Доказ. За теоремою Ферма, 1 (mod p), тобто
В
У лівій частині останнього порівняння в точності один співмножник ділиться на р, адже обидва множники на р. ділиться не можуть, інакше їх різниця, рівна двом, ділилася б на р> 2. Отже, має місце одне й тільки одне з порівнянь:
В
Але всякий квадратичний відрахування а задовольняє при деякому х порівнянні
а (mod p) і, отже, задовольняє також получаемому з нього почленно зведенням у ступінь порівняння 1 (mod p). При цьому квадратичними відрахуваннями і вичерпуються всі рішення порівняння 1 (mod p), так як, будучи порівнянням ступеня, воно не може мати більше рішень. Це означає, що квадратичні невирахувань задовольняють порівнянні 1 (mod p). p> Властивість 1. Якщо аb (mod p), то () = ()
Це властивість випливає з того, що числа одного і того ж класу за модулем р будуть всі одночасно квадратичними відрахуваннями або квадратичними невирахувань.
Властивість 2. () = 1
Доказ очевидно, адже одиниця є квадратом.
Властивість 3. () = p> Доказ цієї властивості випливає з критерію Ейлера при а = -1. Так як - парне, якщо р має вигляд 4n +1, непарне, якщо р має вигляд 4n +3, то число -1 є квадратичним вирахуванням за модулем р тоді і тільки тоді, коли р має вигляд 4n +...
