чного закону взаємності - однієї з центральних теорем теорії чисел. p align="justify"> "Квадратичний закон взаємності", відкритий емпірично Ейлером (бл. 1772) і доведений Гауссом (1801), стверджує, що якщо p і q - різні непарні прості числа, то кожне з них чи є квадратичним вирахуванням за модулем іншого, або це не вірно ні для одного з них за винятком випадку, коли і p, і q мають вигляд 4k + 3 і коли лише одне з цих чисел є квадратичним вирахуванням за модулем іншого. Теорема Гаусса, названа ним "золотий теоремою", служить потужним інструментом теоретико-числових досліджень і дозволяє відповісти на питання, вирішуване чи дане квадратичне порівняння. p align="justify"> Система n-рівнянь з n-невідомими вивчалися Гауссом. Повне дослідження систем лінійних порівнянь було представлено в роботах Фробеніуса і Стейніц в кінці XIX століття. p align="justify"> Отже, порівняння вищих ступенів були покладені в основу модульного представлення числа, які широко використовувалися в сучасній криптографії, і які до цих пір актуальні в наш час високих технологій. Велику увагу цьому питанню приділили такі вчені-дослідники, як Ріверс, Адельман і Ширман. p align="justify"> Особлива складність, яку в усі часи були відзначені задачі теорії чисел, змушувала дослідників шукати все нові методи в цій гілці математичної науки. І в даний час ми маємо в теорії чисел таке методологічне різноманіття, як, мабуть, ні в одній іншій математичної дисципліни. Характерною рисою для всіх цих методів є порівняльна обмеженість їх додатків; кожен такий метод, як правило, може бути застосований до вирішення лише більш-менш вузького кола споріднених між собою завдань. br/>
В§ 2. Визначення порівняння n-го ступеня, n? 2, з одним невідомим, його рішення, властивості рішень
Розглянемо двочленні порівняння:
числовий порівняння ступінь квадратичний
(a, m) = 1
Якщо порівняння (1) має рішення, то а називається вирахуванням ступеня n по модулю m. В іншому випадку а називається невирахувань ступеня n по модулю m. Зокрема, при n = 2 вирахування або невирахувань називаються квадратичними, при n = 3 - кубічними, при n = 4 - біквадратичних. p> Розглянемо найпростіше двучленное порівняння другого ступеня види: а (mod р), де а і р взаємно прості, а р-непарне просте число.
Умова взаємної простоти (а, р) = 1 виключає з розгляду випадок а = 0.
Нас цікавить питання, за яких найпростіше двучленное порівняння другого ступеня має рішення, а за яких не має. Порівняння а (mod 2) має рішення за будь-яких а, так як замість а достатньо підставляти тільки 0 або 1, а числа 0 і 1 є квадратами. p> Що стосується порівняння 0 (mod p), то воно завжди має рішення х = 0.
Визначення. Якщо порівняння а (mod р) має рішення, то число а називається квадратичним вирахуванням за модулем р. В іншому випадку число а називається квадратичним невирахувань за модулем р. p> Отже, якщо а - квадрат деяк...
