1. p> Властивість 4. () = () () p> Дійсно,
() () () (mod p).
Властивість 4, очевидно, поширюється на будь-яке кінцеве число співмножників у чисельнику символу Лежандра, взаємно простих з р.. Крім того, з нього слід властивість 5. p> Властивість 5. () = (), Тобто в чисельнику символу Лежандра можна відкинути будь квадратний множник.
Дійсно, () () () () 1) (mod p).
В§ 3. Методи рішення порівнянь найвищою мірою, n? 2, з одним невідомим
1. З використанням властивостей порівняння
Приклад. Знайти однозначне позитивне число, 27-я ступінь якого закінчується цифрою 7. br/>
, де (7, 10) = 1.
В
По одному з властивостей порівняння аb (mod m), (b, m) = (a, m), звідси (x, 10) = 1. Застосувавши теорему Ейлера, одержимо порівняння
,
так як? (10) = 4. Зведемо обидві частини порівняння в 6-ю ступінь, після чого прийдемо до порівняння. p> Тоді порівняння можна перетворити таким чином:
,
.
Так як (x, 10), то, перевіряючи підстановкою в останнє порівняння числа 1, 3, 5, 7, 9, знаходимо єдине рішення.
Відповідь. . p align="justify"> 2. Метод підбору
Приклад. Вирішити порівняння. p> Рішення.
Використовуємо метод проб, піддаючи перевірці числа, взаємно прості з модулем, тобто числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Шукані рішення:
.
3. З використанням критерію Ейлера
Показати, що добуток двох квадратичних лишків за простим модулю є квадратичний відрахування по тому ж модулю, а твір квадратичного вирахування на невирахувань є квадратичний невирахувань по тому ж простому модулю.
Рішення.
Якщо a і b-квадратичні відрахування по модулю p, то на підставі критерію Ейлера:
(mod p),
(mod p).
Перемножая ці порівняння, маємо:
(mod p)
і ab-квадратичний відрахування по модулю p. У другому випадку
(mod p)
і ab-квадратичний невирахувань за модулем p.
В§ 4. Двочленні порівняння найвищою мірою, n? 2, з одним невідомим, по простому і складеному модулям
.1 Порівняння за простому модулю
Розглянемо випадок, коли модуль - просте число.
Теорема 1. Якщо числа m? , M? , ... Попарно взаємно прості, то порівняння
f (x) 0 (mod m? m? ...) рівносильне системі порівнянь:
В
При цьому, якщо Т? , Т? , ..., - Числа рішень окремих порівнянь цієї системи за відповідними модулями, то число рішень Т вихідного порівняння дорівнює Т? Т? ... . p> Доказ . Перше твердження теореми (про равносильности системи і порівняння) очевидно, тому що якщо ab (mod m),...
