ub>) - вектор валових випусків;
Y = (y 1 , y 2 , ..., y n ) - вектор кінцевого продукту;
A = -
матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.
Коефіцієнти прямих матеріальних витрат є основними параметрами статичної міжгалузевої моделі. Їх значення можуть бути отримані двома шляхами:
1) статистично. Коефіцієнти визначаються на основі аналізу звітних балансів за минулі роки. Їх незмінність у часі визначається відповідним вибором галузей;
2) нормативно. Передбачається, що галузь складається з окремих виробництв, для яких вже розроблені нормативи витрат; на їх основі розраховуються середньогалузеві коефіцієнти.
Вираз (3.4) прийнято називати балансом розподілу продукції. Його можна використовувати для аналізу та планування структури економіки. Якщо відомі коефіцієнти прямих матеріальних витрат, то, задавши кінцевий продукт по кожній галузі, можна визначити необхідні валові випуски галузей. У цьому закладена основна ідея використання матричних моделей для планування виробництва.
Перетворимо вираз (3.4):
X - AX = Y,
X (E - A) = Y,
X = (E - A) - 1 Y, (3.5)
де E - одинична матриця.
До початку планування слід з'ясувати, чи існує матриця, зворотна матриці (EA), і чи не будуть отримані негативні значення випуску за галузями.
Встановимо деякі властивості коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.
1. Неотрицательность, тобто a ij ≥ 0, Це твердження випливає з невід'ємності величин x ij і позитивності валових випусків X j .
2. Сума елементів матриці A за будь-якого з стовпців менше одиниці, тобто br/>В
Довести це твердження нескладно.
Для будь-якої галузі умовно чиста продукція є величина позитивна, оскільки включає в себе заробітну плату, амортизацію, прибуток і т.д., тобто V j > 0. Тому, використовуючи співвідношення (3.2), можна записати:
зі співвідношення (3.3):
звідки безумовно слід:
В
таким чином, твердження доведено.
Можна показати, що при виконанні цих двох умов матриця B = (E - A) - 1 існує і якщо її елементи невід'ємні. Кажуть, що в цьому випадку матриця прямих витрат А є продуктивною.
Перепишемо формулу (3.5):
X = BY, (3.6)
Матриця У носить назву матриці повних матеріальних витрат, а її елементи b ij називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Коефіцієнт b ij показує, яким має бути валовий випуск i-й галузі для того, щоб забезпечити випуск одиниці кінцевого продукту j-й галузі.
Можна показати, що
B = E + A + A 2 + A 3 + ... (3.7)
Помножимо обидві частини на (E - A):
B (E - A) = (E + A + A 2 + A 3
