дин на одного має коефіцієнт кореляції визначається як
.
У певному сенсі він розуміється як косинус кута нахилу між можливими напрямками двох випадкових величин. Так само, як звичайний косинус деякого кута, коефіцієнт кореляції належить відрізку [-1, 1], тобто. br/>
2. Портфель інвестицій
Щоб всі фірми були в рівних за часом умовах, будемо припускати, що через одиницю часу всі фірми ліквідуються, а отримані доходи розподіляються серед акціонерів в якості дивідендів. Дивіденди, що сплачуються на акції кожного типу, будемо вважати випадковими величинами. Іншими словами, існує деякий простір елементарних подій із заданою на ньому ймовірністю Р.
Через дивіденд, позначимо, що виплачується на акцію в змозі. Нехай S - ціна акції в початковий час. Тоді
В
є прибутковістю акції в змозі. Так як це випадкова величина, то їй можна поставити у відповідність математичне сподівання і дисперсію. Таким чином, кожній акції ми ставимо у відповідність очікувану прибутковість і середнє квадратичне відхилення, = 1, 2, ..., N. Взаємна залежність акцій визначається матрицею коваріації, кожен елемент якої дорівнює
.
Зокрема,
.
Розглянемо тепер деякого інвестора, що має капітал W і охочого весь його інвестувати в наявні акції з метою отримання доходу через одиницю часу. Припустимо, що - число акцій типу, куплених в початковий період. Тоді
. (6)
Позначимо через
(7)
частку інвестицій в акції. Набір дійсних чисел
,
задовольняють умові
, (8)
називається портфелем інвестицій. У великій кількості прикладів крім обмеження (8) вводиться умова позитивності активів. Однак у загальному випадку можна припустити, що у інвестора є можливість взяти в борг будь-яку кількість акцій і продати їх на ринку в початковий момент часу. Така дія називають відкриттям короткому позиції по акції, і в цьому випадку і - від'ємні числа. Через одиницю часу інвестор зобов'язаний закрити коротку позицію, повернувши своєму кредитору відповідні акції. Звичайна покупка акцій, природно, розуміється як відкриття довгої позиції по даній акції. Надалі ми не будемо ставити будь-які обмеження на відкриття короткої позиції по акціях, якщо це не буде обумовлюватися у контексті. Незалежно від коротких і довгих позицій по акціях будемо вважати, що балансові рівняння (6) - (8) завжди ви полнени. Це означає, що весь капітал інвестора використовується в портфелі інвестицій. p> Розрахуємо тепер випадкову величину прибутковості портфеля:
.
З урахуванням формул (6) - (8) отримуємо, що
.
Тоді очікувана дохідність портфеля і його дисперсія знаходяться за формулами:
(9)
(10)
Вважаючи в якості оцінки ризику портфеля міру випадковості прибутковості ...
