портфеля - середньоквадратичне відхилення, для кожного допустимого портфеля на площині В«ризик-ПрибутковістьВ» можна відзначити точки, координати яких дорівнюють середньому квадратичному відхиленню і очікуваної прибутковості портфеля. У випадку з забороною на відкриття коротких позицій, коли, це призведе до малюнка 1. Даний малюнок показує можливі співвідношення між ризиком і прибутковістю на даному ринку. Зауважимо, що кожна точка в заштрихованої області відповідає портфелю інвестицій. Якщо інвестор зацікавлений у максимізації очікуваної прибутковості і мінімізації ризику (в даному випадку середнього квадратичного відхилення), то для нього грає роль правило лівого верхнього кута. Суть цього правила полягає в тому, що якщо вибрати певний портфель і на відповідній йому точці А на площині В«ризик-прибутковістьВ» побудувати лівий верхній кут, то будь-який портфель з відповідною йому точкою А з побудованого кута є для інвестора більш кращим, ніж спочатку вибраний портфель (див. рис. 1).
Для кожного допустимого значення прибутковості можна вибрати граничну точку побудованої області як точку, відповідну портфелю інвестицій із заданою очікуваною прибутковістю і найменшим значенням ризику.
В
Рис. 1. Площина В«ризик-прибутковістьВ»
На малюнку 1 це точка В. Зрозуміло, що для інвестора координати граничних точок і відповідні їм портфелі є найбільш важливими з точки зору оптимального вибору інвестицій, так як з урахуванням правила лівого верхнього кута для будь-якої внутрішньої точки області завжди знайдеться більш бажана точка на кордоні. Форма кордону в загальному вигляді має досить складний вид, який в теорії прийнято називати формою кулі. p> Головне властивість цієї кривої полягає в тому, що вона є опуклою вліво. Цей факт заснований на наступних міркуваннях. Розглянемо найпростіший випадок, коли на ринку є два види акцій, тобто N = 2. У цьому випадку область допустимих точок на площині В«ризик-дохідністьВ» буде кривої, яку можна визначити параметрично наступним чином. Нехай t - параметр кривої. Покладемо = t - частка акцій першого типу, = 1 - t - частка акцій другого типу. Тоді допустимі портфелі однозначно визначаються параметром t. Неважко побачити, що очікувана прибутковість такого портфеля
В
є лінійна функція від t. Відповідно, дисперсія дохідності портфеля дорівнює
В
І є квадратним тричленної від параметра t. Тому Безліч точок на площині В«ризик-дохідністьВ» буде частиною гіперболи, що проходить через точки і, що визначають ризик і прибутковість акцій першого та другого типів відповідно (див. рис. 2). Для визначеності на малюнку 2 розглянуто окремий випадок, коли і. Всі інші можливі випадки аналогічні. br/>
В В
Рис. 2. Крива В«ризик-прибутковістьВ» портфеля з двох акцій
Розглянемо тепер відрізок, що з'єднує вершини і. Параметрично кожна точка цього відрізка визначається координатами, де
....
