пеціально сконструйованої функції - функції Лагранжа:
, (3)
де , - Множники Лагранжа;
.
Як видно, являє собою суму, складається з вихідної цільової функції і "зваженої" суми функцій, - функції, що представляють їх обмеження (2) вихідної задачі.
Нехай точка - точка безумовного екстремуму функції, тоді, як відомо,,, або (повний диференціал функції в точці).
Використовуючи концепція залежних і незалежних змінних - залежні змінні; - незалежні змінні, тоді представимо (5) у розгорнутому вигляді:
(5 ')
З (2) з очевидністю випливає система рівнянь виду:
, (6)
Результат обчислення повного диференціала для кожної з функцій
В
Уявімо (6) в "розгорнутому" вигляді, використовуючи концепцію залежних і незалежних змінних:
, (6 ')
Зауважимо, що (6 ') у відмінності від (5') являє собою систему, що складається з рівнянь.
Помножимо кожне-е рівняння системи (6 ') на відповідний-ий множник Лагранжа. Складемо їх між собою і з рівнянням (5 ') і отримаємо вираз:
В
(7)
розпорядився множниками Лагранжа таким чином, щоб вираз у квадратних дужках під знаком першої суми (іншими словами, коефіцієнти при диференціалах незалежних змінних,) дорівнювало нулю.
Термін "Розпорядимося" множниками Лагранжа вищевказаним чином означає, що необхідно вирішити деяку систему з рівнянь відносно.
Структуру такої системи рівнянь легко отримати прирівнявши вираз у квадратних дужках під знаком першої суми нулю:
, (8)
Перепишемо (8) у вигляді
, (8 ')
Система (8 ') являє собою систему з лінійних рівнянь щодо відомих:. Система розв'язана, якщо (ось чому, як і в методі виключення в розглянутому випадку має виконуватися умова). (9)
Оскільки в ключовому вираженні (7) перша сума дорівнює нулю, то легко зрозуміти, що й друга сума буде дорівнювати нулю, тобто має місце наступна система рівнянь:
(10)
Система рівнянь (8) складається з рівнянь, а система рівнянь (10) складається з рівнянь; всього рівнянь у двох системах, а невідомих
:,
Відсутні рівнянь дає система рівнянь обмежень (2):
,
Отже, є система з рівнянь для знаходження невідомих:
(11)
Отриманий результат - система рівнянь (11) становить основний зміст ММЛ.
Легко зрозуміти, що систему рівнянь (11) можна отримати дуже просто, вводячи в розгляд спеціально сконструйовану функцію Лагранжа (3).
Дійсно
, (12)
, (13)
Отже, система рівнянь (11) подана в вигляді (використовуючи (12), (13)):
(14)
Система рівнянь (14) являє необхідна умова в класичній задачі умовної оптимізації.
Найденное в результаті рішення цієї системи значе...
