ня і Метод множників Лагранжа (ММЛ)
Як відомо, класична задача умовної оптимізації має вигляд:
(1)
(2)
Графік, поясняющий постановку задачі (1), (2) у просторі.
(1 ')
(2 ')
,
В В
- рівняння ліній рівня
Отже, ОДР в розглянутій задачі являє собою деяку криву, представлену рівнянням (2 ').
Як видно з малюнка, точка є точкою безумовного глобального максимуму; точка - точкою умовного (відносного) локального мінімуму; точка - точка умовного (Відносного) локального максимуму. p> Задачу (1 '), (2') можна вирішити методом виключення (підстановки), вирішивши рівняння (2 ') щодо змінної, і підставляючи знайдене рішення (1 ').
В
Вихідна задача (1 '), (2') таким чином перетворена в задачу безумовної оптимізації функції, яку легко вирішити методом Ейлера.
Метод винятки (підстановки).
Нехай цільова функція залежить від змінних:
В В
називаються залежними змінними (або змінними стану); відповідно можна ввести вектор
В
Решта змінних називаються незалежними змінними рішення.
Відповідно можна говорити про вектор-стовпці:
і вектора.
У класичної задачі умовної оптимізації:
(1)
(2)
Система (2) відповідно до методом виключення (підстановки) повинна бути дозволена щодо залежних змінних (змінних стану), тобто повинні бути отримані наступні вирази для залежних змінних:
(3)
Завжди Чи система рівнянь (2) розв'язана відносно залежних змінних - не завжди, це можливо лише у випадку, коли визначник, званий якобіаном, елементи якого мають вид:
,
НЕ дорівнює нулю (див. відповідну теорему в курсі МА)
Як видно, функції, повинні бути безперервними диференційовними функціями, по-друге, елементи визначника повинні бути обчислені в стаціонарної точці цільової функції.
Підставляємо з (3) в цільову функцію (1), маємо:
В
(5)
Досліджувана функція на екстремум можна справити методом Ейлера - методом безумовної оптимізації безперервно диференціюється.
Отже, метод виключення (підстановки) дозволяє використовувати завдання класичної умовної оптимізації перетворити в задачу безумовної оптимізації функції - функції змінних за умови (4), що дозволяє отримати систему виразів (3).
Недолік методу виключення: труднощі, а іноді і неможливість одержання системи виразів (3). Вільний від цього недоліку, але вимагає виконання умови (4) є ММЛ. br/>
5.2. Метод множників Лагранжа. Необхідні умови в класичній задачі умовної оптимізації. Функція Лагранжа
ММЛ дозволяє вихідну завдання класичної умовної оптимізації:
(1)
(2)
Перетворити у завдання безумовної оптимізації с...
