ння вектора називається умовно-стаціонарною крапкою.
Для того, щоб з'ясувати характер умовно-стаціонарної точки необхідно скористатися достатніми умовами.
5.3 Достатні умови в класичній задачі умовної оптимізації. Алгоритм ММЛ
Ці умови дозволяють з'ясувати, чи є умовно-стаціонарна точка точкою локального умовного мінімуму, або точкою локального умовного максимуму.
Щодо просто, подібно до того, як були отримані достатні умови в задачі на безумовний екстремум. Можна отримати достатні умови і в задачі класичної умовної оптимізації.
Результат цього дослідження:
В
де - Точка локального умовного мінімуму.
В
де - Точка локального умовного максимуму, - матриця Гессе з елементами
,
Матриця Гессе має розмірність. p> Розмірність матриці Гессе можна зменшити, використовуючи умова нерівності нулю якобіана:. За цієї умови можна залежні змінні виразити через незалежні змінні, тоді матриця Гессе буде мати розмірність, тобто необхідно говорити про матриці з елементами
,
тоді достатні умови будуть мати вигляд:
, - точка локального умовного мінімуму.
, - точка локального умовного максимуму.
Доказ: Алгоритм ММЛ:
1) складаємо функцію Лагранжа:;
2) використовуючи необхідні умови, формуємо систему рівнянь:
В
3) з вирішення цієї системи знаходимо точку;
4) використовуючи достатні умови, визначаємо, чи є точка точкою локального умовного мінімуму або максимуму, потім знаходимо
В
1.5.4. Графо-аналітичний метод рішення класичної задачі умовної оптимізації в просторі і його модифікації при рішенні найпростіших завдань ІП та АП
Цей метод використовує геометричну інтерпретацію класичної задачі умовної оптимізації і заснований на ряді важливих фактів, притаманних цьому завданню.
В В
;;;
В В
У - Загальна дотична для функції та функції, що представляє ОДР.
Як видно з малюнка точка - точка безумовного мінімуму, точка точка умовного локального мінімуму, точка - точка умовного локального максимуму.
Доведемо, що в точках умовних локальних екстремумів крива і відповідні лінії рівня
;.
З курсу МА відомо, що в точці дотику виконується умова
В
де - Кутовий коефіцієнт дотичній, проведеної відповідної лінією рівня; - кутовий коефіцієнт дотичній, проведеної до функції
В
Відомо вираз (МА) для цих коефіцієнтів:
;
Доведемо, що ці коефіцієнти рівні.
В
;
тому що про це "кажуть" необхідні умови
В
.
Вищесказане дозволяє сформулювати алгоритм ГФА методу рішення класичної задачі умовної оптимізації:
1) будуємо сімейство ліній рівня цільової функції:
;;
2) будуємо ОДР, використ...
