ється в результаті вибірки, а йдеться про визначення п до здійснення вибірки.
Оскільки р * невідомо, то визначаємо з цієї рівності, при якому значенні р * величина п буде максимальною. Використовуючи звичайний метод проходження функції на максимум, отримуємо:
В
звідки р * = ВЅ
Отже,
(1.9.11)
Вибірка такого обсягу напевно забезпечить задані надійність і точність.
Розглянемо приклади на кожен з трьох типів завдань. Досліджується питання про частку пошкоджених бульб картоплі після механічного прибирання.
Приклад 1.9.1 Проведена випадкова вибірка об'емом.n = 200 деталей. З них пошкоджених виявилося 40. Визначити з ймовірністю 0,95 довірчий інтервал для частки пошкоджених деталей генеральної сукупності.
Розраховуємо вибіркову частку:
р * = m / n = 40/200 = 0.20
За заданою довірчою ймовірності
Р = 1 - О± = 2 Ф (z О± ) = 0.95
знаходимо по таблиці інтегральної функції Лапласа відповідне значення z О± = 1,96. Застосовуємо формулу (1.9.9):
В
Таким чином, довірчий інтервал для генеральному частки р:
0,20-0,06
Приклад 1.9.2. За результатами тієї ж вибірки визначити ймовірність того, що помилка вибірки не перевищить 0,03.
Маємо:
В
Звідси:
В
По таблиці інтегральної функції Лапласа знаходимо відповідну довірчу ймовірність Р = 2 Ф ( z а ) = 0,71.
Приклад 1.9.3. До проведення вибірки необхідно відповісти на питання: який обсяг вибірки забезпечить з імовірністю 0,95 помилку Виборзька НЕ більш, ніж 0,02?
Застосовуємо формулу (1.9.11):
В
Слід зауважити, що необхідні надійність і точність може забезпечити в нашій задачі і вибірка меншого обсягу. Якщо до проведення вибірки у нас є наближена оцінка хоча б максимальної величини р * , то ми можемо застосувати формулу (1.9.10) і отримати менше значення необхідного обсягу вибірки п.
У разі безповоротної вибірки випадкова величина р *, як доводиться в теорії ймовірностей, має так зване гипергеометрическое розподіл. Її математичне сподівання, як і в випадку поворотної вибірки, одно генеральної частці: М ( р * ) = р, а середньоквадратичне відхилення обчислюється але формулою:
(1.9.12)
де N - обсяг генеральної сукупності
При досить великому обсязі вибірки гипергеометрическое розподілення також добре апроксимується нормальним розподілом з вказаними параметрами M ( p *) і Пѓ ( p *), тому подальший хід вирішення завдань аналогічний розглянутому вище нагоди поворотної вибірки.
Формула для граничної вибірки приймає вигляд
(1.9.13)
При вирішенні завдань III типу з (1.9.13) отримуємо:
(1.9.14)
Відповідно зміниться і формула для n max :
(1.9.15)
Якщо обсяг вибіркової сукупності n складає незначну частку по відношенню до обсягу генеральної сукупності N , то величина у формулі (1.9.12) ближче до 1, можна знехтувати різницею формул (1.9.9) і (1.9.13) і користуватися простішими співвідношеннями для поворотної вибірки, навіть якщо фактично вибірка проводиться як безповоротна.
На закінчення розділу необхідно відзначити що в статистиці використовується поняття середньої помилки вибірки , яка визначається як середнє квадратичне відхилення відповідної вибіркової характеристики. Неважко бачити, що формула для середньої помилки вибірки є окремим випадком формули граничної помилки вибірки при z = 1.
3.4 Точкові оцінки для середньої і дисперсії генеральної сукупності
Позначимо через і Пѓ 2 середню і дисперсію генеральної сукупності.
Поворотна вибірка обсягу n може розглядатися як сукупність n незалежних випадкових величин X j , що мають одне і той же розподіл, що збігається з генеральним, для яких, отже:
M ( X j ) =; D ( X j ) = Пѓ 2
Для точкової оцінки генеральної середньої природно використовувати статистику Вѕ середню. Використовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо:
(1.9.16)
(1.9.17)
Неважко бачити, що статистика Оё Вѕ X * є заможної, незміщеної та ефективної оцінкою параметра.
Для точкової оцінки генеральної дисперсії скористаємося статистикою - вибіркової дисперсією. Однак при найближчому розгляді виявляється...
