Довірчий інтервал.
Перевірка статистичних гіпотез
1. Довірчий інтервал
Точкові оцінки є наближеними, оскільки вони вказують точку на числовій осі, в якій повинно знаходитися значення невідомого параметра. Однак оцінка є наближеним значенням параметра генеральної сукупності, яка при різних вибірках одного і того ж обсягу буде приймати різні значення, тому в ряді завдань потрібно знайти не тільки потрібне значення параметра а, а й визначити його точність і надійність.
Для цього в математичній статистиці використовується два поняття - довірчий інтервал і довірча ймовірність. Нехай для параметра а з досвідчених даних отримана незміщена оцінка Потрібно визначити можливу при цьому величину помилки і ймовірність того, що оцінка не вискочить за межі цієї помилки (надійність).
Задамося деякої ймовірністю b (наприклад, b = 0,99) і знайдемо таке значення e> 0, для якого
В
Уявімо цей вираз у вигляді
В
Це означає, що з ймовірністю b точне значення параметра а знаходиться в інтервалі l e
l e
В В
Тут параметр а - невипадкова величина, а інтервал l e є випадковим, оскільки - випадкова величина. Тому ймовірність b краще тлумачити, як ймовірність того, що випадковий інтервал l e накриє точку а. Інтервал l e називають довірчим інтервалом, а ймовірність b - довірчою ймовірністю (Надійністю). p> Приклад. Якщо при вимірі якоїсь величини Х вказується абсолютна похибка D х, то це, по суті, означає, що похибка вимірювання, будучи випадковою величиною, рівномірно розподілена в інтервалі (-D х, D х) і де Х * - виміряна величина, а х - її точне значення. Тут b = 1, e = D х і l e = (x * - D х, x * + D х). br/>
1.1 Довірчий інтервал для математичного сподівання
В якості ще одного прикладу розглянемо задачу про довірчому інтервалі для математичного очікування. Нехай проведено n незалежних дослідів вимірювання випадкової величини Х з невідомим математичним очікуванням m x і дисперсією s 2 . На основі дослідних даних Х 1 , Х 2 , ... , Х n побудуємо вибіркові оцінки
В
Потрібно побудувати (Знайти) довірчий інтервал l e , відповідний довірчій ймовірності b, для середнього генерального m x . p> Так як середнє вибіркове представляє суму n незалежних однаково розподілених випадкових величин то при досить великому обсязі вибірки згідно центральної граничної теореми її закон близький до нормального. Існує емпіричне правило, за яким при обсязі вибірки n Ві 30 вибіркове розподіл можемо вважати нормальним.
Раніше було показано, що Знайдемо тепер таку величину e (b)> 0, для якої виконується рівність
В
Вважаючи випадкову величину нормально розподіленої, маємо
В ...
