рактеристика розгортки дорівнює ейлеровой характеристиці багатогранника. Але неважко показати, що ейлерова характеристика зберігається при перекроювання даної розгортки в ізометрічних їй. Таким чином, ейлерова характеристика будь розгортки многогранника дорівнює характеристиці цього багатогранника. Тому у розгорнення опуклого багатогранника ейлерова характеристика дорівнює 2. p> Далі, якщо вершині розгортки відповідає справжня вершина багатогранника, те сума відповідних до вершині розгортки кутів строго менше 2. Якщо ж вершині розгортки відповідає яка-небудь точка всередині грані або ребра, то сума відповідних до вершині кутів дорівнює 2. Тому в розгортці опуклого багатогранника сума кутів, що підходять до кожної її вершині, не перевищує 2. p> Теорема Александрова про розгортці. З всякої розгортки, що задовольняє умовам:
(1). її ейлерова характеристика дорівнює 2;
(2). сума кутів, що підходять до будь-якій вершині розгортки, вбирається 2, можна склеїти опуклий багатогранник.
В
Рис. 3
Зазначимо, що серед цих багатогранників можуть зустрітися і вироджені багатогранники. Візьмемо розгортку, що складається з двох рівних опуклих багатокутників, у яких відповідні боку і вершини попарно ототожнені (рис. 3). Ейлерова характеристика такої розгортки
= В-Р + Г = n-n +2 = 2
де n - число сторін у рівних багатокутників. Ця розгортка задовольняє і умові (2). По теоремі Александрова, з неї можна склеїти багатогранник. Це - вироджений багатогранник, або інакше В«подвійний багатокутникВ». p> Ми вже згадували, що на відміну від теореми Коші теорема Александрова не є інтуїтивно очевидною. Розглянемо два приклади. br/>В
а) б) в)
В
а) б) в)
Рис. 4
В«ТетраедричноВ» пакет. У недалекому минулому молоко розливалося в пакети, які мали форми не паралелепіпеда, як зараз, а правильного тетраедра. Хоча упаковувати в тару ці тетраєдри було незручно, зате їх легко виготовляти. Спочатку прямокутна стрічка склеюється в циліндр, горизонтальні краї якого потім заклеюються у двох взаємно перпендикулярних площинах (рис. 18, а, б). Розгортка такого тетраедра - це прямокутник, сторони якого розбиваються на менші відрізки-ребра розгортки, попарне ототожнення яких показано на рис. 18, в. Дана розгортка задовольняє обом умовам теореми Александрова. Це можна навіть не перевіряти, так як це розгортка опуклого багатогранника. Тепер припустимо, що автомат, який виготовляє пакети, В«зачастивВ». p align="justify"> Конкретніше, припустимо, що прямокутник розгортки дуже В«низькийВ», а правила склеювання залишаються тими ж (рис. 4, а). Ця розгортка, так само як і В«високийВ» прямокутник, задовольняє умовам (1) і (2). По теоремі Александрова, з цієї розгортки можна склеїти опуклий багатогранник. З іншого боку, якщо нижній край циліндра вже склеєний, то для склеювання в перпендикулярному напрямку не вистачає висоти (рис. 4, б)....
