івність справедливо при х = 1. Розглянемо функцію. Тоді для будь-якого числа b> 1 для даної функції на відрізку виконуються умови теореми Лагранжа і, отже, існує внутрішня точка з цього відрізка, така, що тобто . Так як з> 1, то і, отже,. Тоді, а значить, тобто для будь-якого b> 1. Таким чином, доведено, що при. p> Можна помітити, що нерівність вірно при будь-якому дійсному х. Зокрема, при х = з +1 отримаємо, тобто br/>
,
де с - будь-яке дійсне число.
Приклад 2 . Довести, що при. p> Рішення. Нехай b - будь-яке позитивне число. Розглянемо функцію на відрізку. За теоремою Лагранжа маємо, тобто . А так як при будь-якому з (доведено у прикладі 1), то, тобто і, отже. Звідси отримаємо, що, а значить, для будь-якого b> 0. Таким чином, при, а враховуючи, що при нерівність також справедливо, отримуємо, що при. p> Приклад 3 . Довести, що. p> Рішення. Функція на відрізку [0,6; 0,8] неперервна і диференційовна,. Отже, для функції на даному відрізку виконуються умови теореми Лагранжа і, де. p> Маємо Оцінимо число. Так як, то і, отже,. Тоді, і остаточно. p> Приклад 4 . Довести, що для будь-яких дійсних значень х1 і х2 виконується нерівність. p> Рішення. Якщо, то і. Якщо, те для функції на відрізку в разі, або на відрізку у випадку виконуються умови теореми Лагранжа, отже, знайдеться внутрішня точка з відрізка, така, що, тобто. Тоді, а враховуючи, що, отримаємо. p> Приклад 5. Довести, що на проміжку є не більше двох різних дійсних коренів рівняння. p> Рішення. Припустимо, що рівняння має не менше трьох різних дійсних коренів х1, х2, х3, що належать проміжку, і нехай х1 <х2 <х3. Тоді вони є нулями функції тобто . На кожному з відрізків для функції виконуються умови теореми. Лагранжа, отже, існують числа С1 і С2 з інтервалів (х1; х2), (х2; х3) відповідно, такі, що,. А так як, то і, причому. Знайдемо похідну:
В
Так як для будь-яких х, то рівняння має єдиний корінь, що належить проміжку. Прийшли до суперечності, адже з1, і с2 повинні бути корінням рівняння. Тим самим доведено, що рівняння має на проміжку не більше двох різних дійсних коренів. p> Приклад 6. Вирішити рівняння
Рішення. Легко помітити, що число х1 = +1 є коренем даного рівняння. Припустимо, що є ще хоча б один дійсний корінь х2, відмінний від х1 Числа х1 і х2 є нулями функції і, отже,. Застосуємо теoрему Лагранжа до функції на відрізку, якщо х1 <х2, або на відрізку, якщо х1> х2. Згідно їй, знайдеться така внутрішня точка з цього відрізка, що буде виконуватися. Враховуючи що отримаємо, тобто число з - корінь рівняння. Але похідна позитивна для будь-яких х, а значить, рівняння не має коренів. Отримане протиріччя доводить, що знайдений корінь х1 = 1 є єдиним. p> Приклад 7. Визначити число критичних точок функції
.
Рішення. Так як ступінь многочлена дорівнює 5, то його похідна є многочленом четвертого ступеня і має не більше чотир...
