відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при прагненні до нуля збільшення аргументу, якщо ця межа існує. p> Позначається похідна функції в точці як або. Таким чином, за визначенням:
.
Інакше дане визначення можна сформулювати так.
Похідній функції в точці називається границя різницевого відносини функції в цій точці для приросту до нуля, якщо ця межа існує.
Визначення. Функція має похідну в точці називається диференційованою в цій крапці [3]. br/>
2. Теорема Лагранжа і її слідства
Тема В«Похідна та її застосуванняВ» займає значне місце у шкільному курсі математики. Однак майже не розглядається застосування теореми Лагранжа і її наслідків при вирішенні завдань елементарної математики. Однак значення теореми Лагранжа в математичному аналізі важко переоцінити. Якщо застосовувати цю теорему без доведення, то з неї можна отримати багато фактів, застосовувані зазвичай у шкільному курсі без доведення [4]. p> Основні завдання вирішуються за допомогою теореми Лагранжа, це завдання на доказ тотожностей, нерівностей, виведення формул тригонометрії, розкладання виразів алгебри на множники, рішення рівнянь, нерівностей, систем рівнянь, рівнянь з параметрами і т.п. При цьому можна вказати загальні методи рішення, деякі приватні прийоми і позначити коло завдань, які вирішуються тим чи іншим методом [2]. p> Наведемо формулювання теореми Лагранжа і наслідків з неї в тій формі, в якій вони викладаються в навчальному посібнику: Віленкин Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. [1]. p> Теорема Лагранжа. Нехай функція f неперервна на відрізку і дифференцируема у внутрішніх точках цього відрізка. Тоді існує внутрішня точка з цього відрізка, така, що. p> Слідство 1 (умова сталості). Якщо функція f неперервна на відрізку, а її похідна рівна нулю всередині цього відрізка, то функція f постійна на. p> Слідство 2. Якщо функціями і безупинні на відрізку і мають однакові похідні всередині цього відрізка, то вони відрізняються лише постійним доданком. p> Умова монотонності функції також є наслідком теореми Лагранжа. У шкільному підручнику воно встановлюється окремо у вигляді теореми [2]. p> Слідство 3 (умова монотонності). Якщо функція f неперервна на проміжку I і її похідна позитивна (відповідно негативна) у внутрішніх точках цього проміжку, то функція f зростає (відповідно убуває) на I [1]. br/>
3. Застосування теореми Лагранжа і її наслідків при вирішенні завдань
Розберемо декілька прикладів на пряме застосування теореми. Теорему Лагранжа можна використовувати при вирішенні нерівностей і рівнянь, при знаходженні числа коренів деякого рівняння. p> У процесі вирішення таких завдань розглядається функція на відрізку, що задовольняє умовам теореми Лагранжа, для неї записується формула
,
де і оцінюється.
Приклад 1. Довести, що при. p> Рішення. Нер...
