ьох дійсних коренів. Застосуємо теорему Лагранжа до функції на відрізках [-1; 0], [0; 1], [1; 8], [8; 9], і при цьому врахуємо, що. p> На кожному такому відрізку знайдуться внутрішні точки х1, х2, х3, х4 відповідно, такі, що
,,,
,
Тобто ,,,. p> А враховуючи, що коріння многочлена четвертого ступеня, дeла висновок, що інших коренів, відмінних від отриманих, немає і, отже, функція має чотири критичні точки.
Далі розглянемо ряд прикладів на застосування наслідків 1 і 2. Їх можна використовувати:
при доказі тотожностей, зокрема при виведенні формул елементарної математики;
при спрощення виразів;
при розкладанні алгебраїчних виразів на множники.
При вирішенні таких завдань на деякому проміжку розглядається або одна функція, така, що її похідна і, отже, функція постійна, тобто має вигляд, або дві функції, і, такі, що, і робиться висновок, що, де с - постійна. Цю постійну знаходять, поклавши х рівним деякому значенню. p> Приклад 8. Чи не користуючись основним тригонометричним тотожністю, вивести формулу. p> Рішення. Функція неперервна на всій чіслoвой прямій. Знайдемо похідну цієї функції
.
для будь-якого дійсного значення х, отже, на підставі умови сталості функції можна зробити висновок, що функція постійна, тобто . Для визначення постійної покладемо і отримаємо, тобто . Таким чином, і, значить,, звідки і отримаємо, або. p> Приклад 9. Довести тотожність
В
Рішення. Функція неперервна на відрізку, і її похідна на дорівнює нулю. Отже,. При отримаємо тобто . Таким чином, постійна, значить,, отже,. p> При маємо.
Таким чином, доведено, що
Приклад 10. Довести, що
В
Рішення. Розглянемо дві безперервні на проміжку функції і. Вони безупинні на будь-якому відрізку. Знайдемо похідні цих функцій. br/>
,.
Так як при, і тоді
всередині відрізка. На підставі слідства 2 маємо, де с - постійна. Для визначення з покладемо, наприклад,, що дає, тобто Отже, отримаємо, що при х <0. p> Приклад 11. Довести тотожність
В
Рішення. Зауважимо, що, для будь-якого дійсного х, і функції безупинні на
всій числовій прямій.
Маємо,
В
. Розглянемо функцію,.
,
.
Якщо, то, і. Якщо. На підставі умови сталості функції, або. На кожному з розглянутих проміжків визначимо с, поклавши,. p>, отже,.
, отже,. Маємо: при, при
. Розглянемо функцію,.
,
В
Якщо і
Якщо і
. Тоді на зазначених проміжках функція постійна, тобто . p> Поклавши,. отримаємо
, отже,; тоді.
Маємо: при,
при
. Обчислимо значення при й. p>, отже, при, тобто . , Отже, при тобто . , Отже, при, тобто . p> Таким чином, вихідне тотожність доведено для всіх дійсних х.
Приклад 1...
