(при цьому слід пам'ятати, що
).
Відомо, що (для 0
або
Помножимо обидві частини тотожності на А і віднімемо з нього почленно попереднє тотожність:
Суму праворуч розіб'ємо на дві:
Причому число N виберемо так, щоб при було
де - довільне наперед заданий позитивне число. Тоді друга сума за абсолютною величиною і сама буде менше (незалежно від), а для першої суми того ж можна домогтися за рахунок наближення x до 1. Цим і завершується доказ.
Отже, у всіх випадках, де застосуємо метод Чезаро, застосовний і метод Пуассона-Абеля з тим же результатом.
Зворотне ж твердження невірно: існують ряди, підсумовувані методом Пуассона-Абеля, але не мають узагальненої суми" в сенсі Чезаро. Розглянемо, наприклад, ряд
Так тут явно не дотримано необхідна умова сумовності за методом середніх арифметичних, то цей метод не докладемо. У той же час ряд
Має (при 0
Таким чином, метод Пуассона-Абеля є більш потужним, тобто докладемо в більш широкому класі випадків, ніж метод Чезаро, але не суперечить йому в тих випадках, коли вони опиняються застосовні обидва.
знакозмінними ряд Ейлера
розходиться ряд підсумовування
У математиці, 1? 2 + 3? 4 + ... - це числовий ряд, доданки якого по модулю є послідовні натуральні числа і мають чергується знак. Такий числовий ряд розходиться, тобто часткові суми (1,? 1, 2,? 2, ...) не прагнуть ні до якого кінцевого межі. Проте, в середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як парадоксальне:
Математичний апарат, що дозволяє інтерпретувати цей вираз, був розроблений набагато пізніше появи інтересу до даного ряду. Починаючи з 1890 року, Чезаро, Борель та інші математики строго сформулювали методи отримання узагальнених сум розбіжних рядів, а також доповнили ідеї Ейлера новими інтерпретаціями. Багато з цих методів для суми 1? 2 + 3? 4 + ... дають результат, рівний 1? 4.Суммірованіе по Чезаро є одним з небагатьох методів, який не дозволяє визначити суму. Таким чином, щоб отримати кінцеву суму узагальненим методом підсумовування для цього ряду, потрібно інший підхід, наприклад застосування підсумовування методом Абеля.
Оскільки члени 1,? 2, 3,? 4, 5,? 6, ... підкоряються простий закономірності, ряд 1? 2 + 3? 4 + ... можна перетворити зрушенням і почленного складанням з метою приписати йому деяке числове значення. Якщо вираз s=1? 2 + 3? 4 + ... для якогось звичайного числа s має сенс, то наступне формальне перетворення дозволяє стверджувати, що його значення в деякому сенсі одно s=1? 4:
Даний висновок можна проілюструвати і графічно:
Цей метод прямого підсумовування відповідає вимогам лінійності і стабільності, тому дозволяє, як і багато інші методи отримати природний відповідь, якщо така сума може бути визначена. Аналогічно, такий же метод пошуку суми ряду прямим лінійним способом дозволяє отримати для ряду Гранді значення?, А справедливість даного значення була розглянута вже вище.
Крім того, можна виявити й іншу взаємозв'язок ряду Гранді і ряду Ейлера - цей зв'язок виявляється через твір Коші для двох нескінченних послідовностей, яке визначен...
