о навіть у разі, якщо обидві розходяться. Отже, у разі якщо маємо:
З використанням даних результатів випливає еквівалентність значень при використанні методів підсумовування, є лінійними, стабільними і які зберегли твір Коші.
Однак, пряме застосування методу складання по Чезаро (методи часто іменують по першій латинської літери прізвища та «порядку», тому для прямого методу Чезаро прийнято позначення (С, 1)) для ряду Гранді другого порядку не є сумовною, оскільки часткові суми даного ряду: 1, - 1,2, - 2,3, - 3 ...; а їх середнє арифметичне: 1,0,2 / 3,0,3 / 5,0,4 / 7, ... і їх послідовність не сходиться.
Є два широко відомих узагальнення підсумовування методом Чезаро: концептуально більш просте серед них є послідовністю методів (H, n ) для натуральних чисел n , де сума (H, 1 ) - це сума по Чезаро, а вищі методи виходять багаторазовим застосуванням методу підсумовування по Чезаро. У прикладі вище, парні середні сходяться до 1? 2, в той час як непарні дорівнюють нулю, тому середнє арифметичне середніх арифметичних сходиться до середнього між нулем і 1? 2, що складає 1? 4. Тому 1? 2 + 3? 4 + ... є (H, 2), що дає суму 1? 4.
«H» - це скорочення від прізвища Отто Гельдера, який в 1882 році довів перший те, що зараз математики розцінюють як зв'язок між підсумовуванням методом Абеля і підсумовуванням (H, n ); ряд 1? 2 + 3? 4 + ... використовувався їм в якості першого прикладу. Той факт, що 1? 4 є сумою (H, 2) послідовності 1? 2 + 3? 4 + ... гарантує, що це також і абелева сума; це буде безпосередньо доведено нижче.
Інша часто формулируемое узагальнення підсумовування методом Чезаро - це послідовність методів (C, n ). Було доведено, що підсумовування (C, n ) і (H, n ) дають однакові результати, але мають різну історію. У 1887 році Чезаро близько підійшов до того, щоб дати визначення підсумовування (C, n ), але обмежився приведенням декількох прикладів. Зокрема, він отримав суму 1? 4 для 1? 2 + 3? 4 + ..., методом, який може бути переформульовані як (C, n ), але не сприймався таким в свій час. Він формально визначив методи (C, n) в 1890 році, для формулювання своєї теореми, яка говорить, що твір Коші (C, n )-суммируема і (C, m )-суммируема рядів є (C, m + n +1)-суммируема.
У даного ряду існує два найбільш поширених узагальнення. Триразове твір Коші для ряду 1? 1 + 1? 1 + ... дає ряд 1? 3 + 6? 10 + ..., - Знакозмінні ряд з трикутних чисел, його абелева і ейлерова суми рівні 1? 8. Чотириразове твір Коші ряду 1? 1 + 1? 1 + ... дає Ряд1? 4 + 10? 20 + ..., - Знакозмінні ряд з тетраедральних чисел, абелева сума якого дорівнює 1? 16.
Інша узагальнення ряду 1? 2 + 3? 4 + ... можливо в трохи іншому напрямку: це сімейство рядів 1? 2 n + 3 n ? 4 n + ... для інших значень n . При позитивних n подібний ряд має наступну абелеву суму:
Дана формула була виведена Ейлера?? в 1755 році в роботі «Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum». Трохи пізніше ряди були досліджені для нецілих значень n - так було отримано функціональне рівняння ця-функції Дирихле, яке безпосередньо веде до вирішення так званої дзета-функції Рімана.
дзета-функція Рімана - функція від комплексного, який, у свою чергу, при виражається через...
