ле. Аналогічно з періодичними сигналами, можна подати комплексну функцію S ° (w) в показовому або алгебраїчному вигляді:
(1.18)
де: (1.19)
(1.20)
Справедливі також формули (1.9), (1.10) переходу від алгебраїчної форми подання комплексних чисел - в показову:
(1.21)
(1.22)
Визначимо спектральну щільність одиночного прямокутного імпульсу (рис. 1.12):
U (t)=Uo при, U (t)=0 при інших t.
Рис. 1.12
(1.23)
Графік спектральної щільності одиночного прямокутного імпульсу (рис. 1.13) збігається з обвідної спектра періодичного сигналу.
Рис. 1.13 - Модуль спектральної щільності одиночного імпульсу
Рис. 1.14 - Фаза спектральної щільності одиночного імпульсу
З формули (1.23) можна зробити висновок про те, що зі зменшенням тривалості одиночного імпульсу r розширюється головний пелюсток спектральної характеристики і навпаки: при збільшенні тривалості імпульсу ширина спектральної характеристики звужується.
Відзначимо цікаву особливість прямого (1.16) і зворотного перетворення Фур'є (1.17). Їх формули відрізняються постійним множником і знаком фази. Тому можна говорити про симетрії прямого і зворотного перетворення Фур'є.
Так, сигналом з модулем спектральної характеристики S (w) у вигляді прямокутника буде відповідати одиночний імпульс у вигляді графіка sin (x)/x.
Використовуючи математичні перетворення, можна показати, що імпульсу у вигляді експоненціального дзвіночка відповідає спектральна характеристика у формі експоненціального дзвіночка. Чим коротше тривалість імпульсу, тим ширше спектр, і навпаки.
Для перетворення Лапласа, як і для перетворення Фур'є (яке є окремим випадком перетворення Лапласа) справедливі наступні співвідношення:
якщо продифференцировать вихідну функцію, то це відповідає множенню її перетвореної функції на оператор (для перетворення Лапласа - p raquo ;, для перетворення Фур'є - jw );
аналогічно: інтегруванню вихідної функції відповідає поділ перетвореної (відображеної) функції на оператор (для перетворення Фур'є - jw ),
т.к. перетворення Лапласа і Фур'є є лінійними, то алгебраїчній сумі вихідних функцій відповідає алгебраїчна сума перетворених функцій,
зсув у часі вихідної функції на t до зміни фазової характеристики спектра на величину ??raquo; wt
(1.24)
Застосуємо ці співвідношення для розрахунку спектра трикутного імпульсу (рис. 1.15):
Рис. 1.15 - Трикутний імпульс
Рис. 1.16 - Похідна трикутного імпульсу.
Можна обчислити спектральну характеристику за відомими формулами (1.16), але використання властивостей перетворення Фур'є спрощує обчислення.
Розраховуємо спектральну характеристику для похідною трикутного імпульсу (ріс.1.16), що складається з двох прямокутних імпульсів.
Спектральна характеристика для позитивного імпульсу (див. рис. 1.16), з урахуванням формул (1.23), (1.24), має вигляд:
Аналогічно для негативного імпульсу спектральна характеристика має вигляд:
Сумарна спектральна характеристика двох імпульсів:
Спектральна щільність S3 трикутного імпульсу (рис. 1.15), що є інтегралом від розглянутих імпульсів, виходить розподілом розрахованої спектральної характеристики на jw :
Необхідно відзначити, що рівень бічних пелюсток спектра трикутного імпульсу убуває швидше, пропорційно 1/w0 (суцільна лінія на рис. 1.17), а не 1/w, як у випадку прямокутного імпульсу (пунктирна лінія на рис. 1.17).
Рис. 1.17 - Спектральна характеристика трикутного імпульсу
Для неспотвореної передачі інформації (сигналу) необхідне узгодження характеристик каналу зв'язку і параметрів сигналу, тобто обсяг сигналу V (пропускної спроможності каналу передачі інформації)
де: Fk - смуга частот каналу; смуга частот сигналу; - динамічний діапазон каналу зв'язку; - динамічний діапазон сигналу;
ТK - час роботи каналу зв'язку;
Тc - тривалість ісгнала.
Рис. 1.18 - Обсяг сигналу Vc і обсяг сігналаVk
Умова (1.25) є необхідною, але не достатньою умовою узгодження сигналу з каналом. Достатня умова:
; ; (1.26)
Якщо одна з цих умов (1.26) не виконується, але виконує основну умову (1.25), можлива передача інформації з перетв...
