різницевих рівнянь виду (3.13), (3.14), записаних в більш зручній формі
(3.16)
де. Дозволяючи ці рівнянь відносно, отримаємо
(3.17)
(3.18)
(3.19)
За допомогою розкладу за степенями малого параметру прийдемо до співвідношення
(3.20)
яке перетворимо до виду
(3.21)
Виключимо, використовуючи розкладання рішення в ряд Тейлора в околі точки. З точністю до матимемо
(3.22)
Похідну виключимо за допомогою співвідношення
(3.23)
Підставами (3.23) в (3.22). Тоді
(3.24)
(3.25)
Підставами співвідношення (3.25) в (3.24). У результаті матимемо
(3.26)
Очевидно, що рівняння (3.26) апроксимує вихідне рівняння (3.1) на інтервалі з другим порядком по. Таким чином, знайдена різницева апроксимація неоднорідного еволюційного рівняння другого порядку за допомогою двуціклічного методу.
Якщо,, то при достатній гладкості рішення, функції, і елементів матриць, система різницевих рівнянь (3.16) абсолютно стійка на інтервалі і апроксимує вихідне рівняння з другим порядком по.
4. Опис програмної реалізації рішення двовимірної задачі
Для чисельного рішення поставленої задачі розроблена програма. Алгоритм заснований на використанні вище описаного методу покомпонентного розщеплення рішення диференціальних рівнянь з приватними похідними. Програма призначена для розрахунку концентрації забруднюючих речовин. Вхідними даними є:
- параметри області рішення задачі;
-компоненти вектора швидкості повітряних мас у напрямку осей відповідно;
-коефіцієнти дифузії в напрямку осей відповідно;
- потужність джерела домішки;
- величина, характеризує взаємодію домішок з підстильної поверхнею ( л );
- координати джерел, в яких проводяться спостереження за поширенням домішки;
- кількість ітерацій за часом дослідження;
- кількість кроків за часовою змінною;
- кількість кроків по просторовим змінним.
Результатом роботи програми є значення концентрації домішки у вузлах сіткової функції на кожній ітерації за часом, за якими можна побудувати графічну інтерпретацію.
4.1 Вибір середовища реалізації
Для напісанія програми була використана середу Compaq Visual Fortran 6.5. Цей вибір обумовлений тим, що Fortran - один з найпотужніших мов програмування, що дозволяє працювати з типами даних підвищеної точності, що дуже важливо при виконанні математичних розрахунків. Fortran спочатку був створений для наукових і чисельних розрахунків і все його подальше розвиток орієнтований насамперед на подібні додатки.
При візуалізації результатів програми використані кошти Maple 9.0. Цей вибір обумовлений тим, що Maple на сьогодні є кращим математичним пакетом, які мають велике число вбудованих функцій, великі бібліотеки розширення і найбагатші графічні можливості для вирішення завдань наочної візуалізації найскладніших математичних розрахунків.
4.2 Опис програми
Всі вхідні параметри знаходяться в окремому текстовому файлі in.txt , їх можна змінювати безпосередньо в цьому файлі. Введення даних здійснюється під управлінням іменованого списку.
Ім'я списку введення в даній програмі: input . Таким чином, оператор NAMELIST оголошення іменованого списку введення є в розділі оголошень програмної одиниці і має вигляд: namelist/input/L, h, tau, T, n, u, w, mu, nu, M , constX, constZ , lambda де після /input/ йде перерахування заздалегідь визначених в програмі в приналежності якому-небудь типом змінних. При введенні іменованого списку оператор введення шукає у файлі in.txt початок списку, яке має вигляд: $ input. Перелік належать іменованого списку даних завершується знаком долара ($). Імена змінних у вхідному файлі при використанні іменованого списку введення повинні збігатися з відповідними іменами списку змінних оператора NAMELIST.
Написана програма реалізує схему розщеплення по фізичним процесам.
Розглянемо перший етап, який відповідає перенесенню. Розіб'ємо весь проміжок [0, T ] на елементарні. Перенесенню відповідає наступний оператор:
<...
