br />
.
Відповідний різницевий аналог мають вигляд
де - кроки сітки уздовж відповідних осей.
Розглянемо наступний етап, відповідний дифузії та поглинання субстанції. А саме будемо розглядати оператор
.
Різницевий аналог оператора буде мати вигляд
де
За при цьому приймається рішення задачі на попередньому етапі (коли розглядалося тільки перенесення).
У результаті виходить схема другого порядку апроксимації по і по .
Для граничних значень отримуємо конечноразностного формули такого вигляду:
,
,
,
.
Основні обчислення відбуваються в циклі за часовою змінною tc . Спочатку описується задоволення граничним умовам. Початковий розподіл концентрації домішки записується в двовимірний масив fi . Спочатку в цьому циклі відбувається рішення системи рівнянь, що описують явище переносу забруднюючих речовин, потім рівнянь, що описують дифузію домішки. Це робиться за допомогою методу прогону [8] (так як матриця цієї системи є блочно-діагональної з трехдіагональной блоками, перше і останнє рівняння в блоці апроксимують відповідні граничні умови, тому на початку циклу вони не враховувалися). Проміжний результат записується в двовимірний масив fipr потім, використовуючи отримані дані, переходимо до наступної системи і проробляємо аналогічні дії. Після того як, завершився крок покомпонентного розщеплення, результати записуються в масив fi, виконується присвоювання масиву fi значень масиву fipr , відбувається виведення результатів на поточному кроці за часом у файл і управління передається на початок циклу. На кожній ітерації за часом можна побачити картину поширення домішки.
Висновок проводиться в текстовий файл out.txt , а з нього потрібні дані можна вибрати, наприклад, у файл з ім'ям out1.txt і візуалізувати в Maple в готовому файлі out1.mws .
5. Аналіз чисельних результатів
У розглянутій моделі при дискретизації рівнянь за часом був використаний метод розщеплення, що дозволяє побудувати стійкі і прості в чисельної реалізації схеми. За допомогою методу розщеплення завдання, що описують складну фізичну систему, приводяться до послідовності простих завдань, кожна з яких враховує одну або декілька сторін досліджуваного процесу. Подібна структура є найбільш придатною для математичного моделювання фізичних процесів у складних системах. Включення нових елементів у модель, наприклад, процесу трансформації домішок, з позицій методу розщеплення можна здійснити на рівні окремих етапів розщеплення, не змінюючи структури моделі в цілому.
Таким чином, починаючи з порівняно простої задачі, в модель можуть бути поступово введені додаткові механізми. Це дає можливість розглянути вплив різних чинників на розвиток досліджуваних процесів. При цьому можуть бути задані граничні умови в припущенні, що домішка взаємодіє з неоднорідною за своїми властивостями поверхнею. У результаті чисельного рішення задач в діапазоні необхідного для практики зміни вхідних параметрів розглянута модель після деякого розширення може бути використана і в реальних умовах.
Як приклад використання методу розщеплення було вирішено кілька модельних завдань, зокрема вирішувалося завдання з постійним точковим джерелом потужності 20 в області, де D={0 lt; x lt; 9, 0 lt; z lt; 9}. Джерело розташовувався в точці М (0.6; 0.2). Так само належало: T=2, U=5, W=0, lambda=2, mu=0.5, nu=1.0. Крок по просторовій змінної вибирався рівний 0,2, а з тимчасової 0,005.
Рисунок 1 - Поверхня розподілу домішки на двадцятому моменті часу
Малюнок 2 - Поверхня розподілу домішки на двадцятому другому моменті часу
Малюнок 3 - Поверхня розподілу домішки на двадцятому п'ятий моменті часу
Висновок
Роботу присвячено розв'язанню задачі поширення домішки від зосередженого джерела. Розглядалася початково-крайова задача для рівняння конвекції-дифузії домішки. При отриманні чисельного рішення розглянутої задачі застосовувався двуцікліческій метод покомпонентного розщеплення, заснований на схемах Кранка - Ніколсона, що дозволяє будувати стійкі різницеві схеми з другим порядком апроксимації по.
На основі вивченої моделі розповсюдження забруднюючих домішок розроблена програма, що надає можливість проведення обчислювальних експериментів та аналізу їх результатів. Програма написана в...
