но замінити вихідну диференціальну задачу деякої конечномерной дискретної завданням, зазвичай представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) для компонентів вектора. Однієї і тієї ж диференціальної задачі можна поставити у відповідність безліч різних дискретних моделей, проте, далеко не всі з них придатні для практичної реалізації. Питання побудови різницевих схем детально розглянуті в [6, 7].
Апроксимацію цього завдання проведемо в два етапи. Спочатку апроксимуємо її в області по просторовим змінним. У результаті приходимо до рівняння, диференціальному за часом і разностному по просторовим змінним. В отриманій диференційно-різницевої задачі в ряді випадків легко виключити рішення в граничних точках області за допомогою різницевих апроксимацій граничних умов. Припускаючи, що це зроблено, приходимо до еволюційного рівняння виду
(3.1)
Співвідношення (3.1) є системою звичайних диференціальних рівнянь для компонентів вектора. Надалі індекс ставити не будемо, вважаючи що (3.1) є різницевий аналог по просторовим змінним вихідної задачі.
З урахуванням викладеного розглянемо задачу Коші
(3.2)
де в D при t =0
Розглянемо найпростіші методи апроксимації задачі (3.2) за часом, вважаючи, що не залежить від часу. Одна з них - явна схема першого порядку апроксимації на сітці
(3.3)
де
Неявна схема першого порядку апроксимації має вигляд
(3.4)
де
Це схеми першого порядку апроксимації (у припущенні, що існують другі похідні за часом функції).
Схема Кранка - Ніколсона має наступний вигляд [6]:
(3.5)
де
Ця схема апроксимує вихідну задачу з другим порядком за часом.
При цьому схема (3.3) буде стійка при виконанні певної умови, наприклад, якщо - симетрична позитивно певна матриця з власними числами з інтервалу [ з , b ], а задовольняє співвідношенням.
Розглянемо методи розщеплення, що застосовуються при вирішенні двовимірних задач, що описують процеси різної природи. Розглянуте еволюційне рівняння має вигляд (3.1) в. Оператор не залежить від часу і представимо у вигляді за умови, що.
Будемо вважати, що це завдання вже редукована до різницевого увазі.
3.1 Метод стабілізації
Розглянемо так званий метод стабілізації. Для цього розглянемо разностную схему рішення (3.1) в припущенні f=0 :
(3.6)
де
Ця схема апроксимує вихідну задачу з другим порядком апроксимації по.
За допомогою ряду перетворень приводиться до вигляду
(3.7)
де.
Звідси видно, що (3.7) при достатній гладкості рішення збігається зі схемою Кранка - Ніколсона, тобто має другий порядок апроксимації по.
Ця різницева схема допускає зручну комп'ютерну реалізацію.
У разі неоднорідною завдання
, (3.8)
де при t =0.
У цьому випадку завдання запишеться наступним чином:
(3.9)
де,.
За умови схема буде володіти другим порядком апроксимації по.
3.2 Метод покомпонентного розщеплення
У разі залежності операторів від часу застосовується метод покомпонентного розщеплення.
Нехай у (3.1) оператор не залежить від часу і представимо у вигляді за умови, що і. Розглянемо апроксимацію цих матриць на інтервалі у формі
в припущенні, що їх елементи мають достатню гладкість.
Побудуємо систему різницевих рівнянь, що складається з послідовності найпростіших схем Кранка - Ніколсона
(3.10)
Система різницевих рівнянь при виключенні допоміжних функцій може бути приведена до одного рівняння
(3.11)
(3.12)
Якщо,, то при достатній гладкості елементів цих матриць і рішення задачі (3.1) різницева схема (3.10) абсолютно стійка і апроксимує вихідне рівняння з другим порядком по у випадку, якщо і комутують, тобто , І з першим, якщо не комутують.
Розглянемо двуціклічний метод покомпонентного розщеплення. Будемо апроксимувати оператори і на інтервалі. Покладемо
.
Побудуємо наступні дві системи різницевих рівнянь
(3.13)
(3.14)
Маємо
, (3.15)
Двуціклічний метод абсолютно стійкий, а схема (3.15) апроксимує вихідне рівняння (3.1) з другим порядком по
Будемо шукати рішення неоднорідною завдання за допомогою двуціклічного повного розщеплення.
Розглянемо систему...
