авнини. Евклід в 16-му додатку VII книги «Начал» доводить рівність aхb=bхa, притому зовсім без геометричного облачення його, настільки звичайного для нього в перших книгах. Термін комутативними ввів Сервуа (1814г.).
Сочетательность або асоціативний закон додавання і множення застосовувався також усіма. Для складання доказ його в цілях суворого обгрунтування арифметики вводить Грассман у своєму «Підручнику арифметики» (1861р.), Що представляє першу спробу наукового викладу підстав шкільної арифметики. Термін асоціативний був введений Гамільтоном (1853г.).
Розподільчий або дистрибутивний закон множення доводить геометричним методом Евклід у своїх «Початках» (книга II) у формі ab + ac + ad ...=a (b + c + d + ...). Словами Евклід формулює його так: «Якщо дано дві прямі лінії (два відрізки) і одна з них розділена на довільне число частин, то прямокутник, побудований на обох лініях, дорівнює (равновелик) прямокутникам з нерозділеного прямий і окремих частин інший». Далі Евклід доводить окремо, що (a + b) Хa=a2 + ab.
. 5 Арифметичні символи
До кінця XVI століття керівництва з арифметики не застосовуються систематично якихось символів і автори їх не дають собі звіту в значенні їх. Заслугою Лейбніца є пропаганда цього розуміння. Створення міжнародних наукових журналів в XVII і XVIII століттях висунуло питання про створення спільних інтернаціональних символів.
Знаки + і - з'являються як би випадково у Видмана (1489г.), Стіфел (1545г.), Різе (1551г.), справляючи враження, що вони не «аборигени» (уродженці) математика, а «прибульці з інших областей». Першою друкованою книгою, що містить виклад прийомів обчислень із застосуванням знаків + і -, є керівництво Грамматеуса (1518г.).
Букви M і D (Multiplicatio, Divisio) для позначення множення і ділення вживає Стевін (1548 - 1620гг.) і деякі інші автори. Знак множення x ввів Аутрід (1631р.), Можливо, за аналогією зі знаком +. Запис множення буквених виразів без всякого знака між ними була вже у перших авторів алгебри і природна при вживанні числових коефіцієнтів. Точка в якості знака множення з'являється у Региомонтана (тисячі чотиреста тридцять шість - 1476гг.), Потім у Харріот (1631р.). Свідомо і, підкреслюючи значення точки, як знака множення, що робить Лейбніц (1693г.).
Горизонтальна риска в якості знака ділення мається у Леонардо Пізанського (XIII ст.) і запозичена їм від арабів. Знак ділення (:) вперше зустрічається у Джонсона (1633г.). Пелль (+1610 - 1685гг.) Вводить знак ділення :, Уживаний досі нерідко в Англії та Америці.
2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМУВАННЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ НАВИЧОК табличних множення і ділення
Засвоєння дітьми теоретичних знань, в яких розкривається сам процес їх походження, ось сенс спеціально организуемой розгорнутої навчальної діяльності. Це формує і розвиває у молодших школярів навички теоретичного мислення, що дозволяє вирішувати певні завдання, орієнтуючись на загальний принцип їх побудови. Виділення цього принципу допомагає дітям опановувати загальним способом вирішення при відносному безпомилковому русі думки від загального до приватно-конкретного. Таким чином, засвоєння теоретичних знань по засобом навчальної діяльності - це, насамперед простежування дітьми процесу походження наукових понять, оволодіння способами вирішення окремих завдань.
Для шкільної математики число є тим поняттям, з якого починається навчання. Вже в початкових класах учні знайомляться з різними ролями натурального числа. Відповідаючи на запитання: «Скільки дерев зображено на малюнку?», Вони мають справу з числом як кількісною характеристикою безлічі предметів. Виробляючи рахунок предметів, вони оперують натуральним порядковим числом. У завданнях, пов'язаних з вимірюванням величин, число виступає в новій ролі - значення величини при вибраній одиниці як міри величини. Багато уваги приділяється в початковому курсі математики ще однієї ролі числа - як компоненту обчислень.
Таким чином, натуральне число багатолике і всі його сторони повинні бути зрозумілі вже учнями початкових класів. Тому важливим завданням вчителя є оволодіння тими теоріями натурального числа, в яких відображається різна роль натурального числа, в практичній діяльності.
. 1 Аксіоматичний підхід до визначення понять добутку і частки
У математиці до визначення обчислювальних навичок додавання, віднімання, множення і ділення існує два підходи.
Перший підхід, який розглядає обчислювальні навички - це аксіоматичний. Його розробив Піано в XIX столітті.
Розглянемо визначення множення натуральних чисел.
За правилами побудови аксіоматичної теорії ...
