+ L/2 і -L/2 і задовольняє в інтервалі (-L/2, + L/2) рівнянню Шредінгера
Загальне рішення є лінійна комбінація sinkx і coskx (k =). Рішення, одночасно задовольняють дві граничним умовам, існують тільки при деяких дискретних значеннях?, А саме:
(n=1,2, ... ,?) (28)
(рішення, для яких kL=n?). Кожному з цих значень? N відповідає одна і тільки одна власна функція (виродження немає), а саме:
при n непарному, (29а)
при n парному. (29б)
Цей простий результат викликає цілий ряд загальних зауважень. По-перше, даний результат принципово відрізняється від результату класичної механіки. У тому ж потенціалі класична частинка може рухатися при будь-якої позитивної енергії. Це буде періодичне рух туди і назад між двома потенційними стінками, що знаходяться на кінцях інтервалу (-L/2, + L/2). У квантовій механіці рух може мати місце тільки за деяких певних дискретних значеннях енергії: енергія частинки, квантуется.
Друге зауваження стосується парності власних функцій. Функції парні, якщо n непарній (рівняння (29а)), і непарні, якщо n парне (рівняння (29б)). Та обставина, що власні функції володіють певною парністю, пов'язано з властивостями потенціалу, який є парною функцією відносно початку координат:
(x)=U (-x).
Останнє зауваження відноситься до числа вузлів власних функцій. За визначенням вузли суть точки, в яких функція звертається в нуль (за винятком нулів на кінцях інтервалу -L/2 + L/2). Число вузлів монотонно зростає зі зростанням власного значення енергії, воно збільшується на одиницю при переході від деякого власного значення до найближчого наступного: власна функція основного стану? 1 не має вузлів, ..., власна функція n - 1-го порушеної
стану? n має n - 1 вузол і т. д. Корисно підкреслити аналогію з числом вузлів стаціонарних станів закріпленої на кінцях коливається струни. Подібність тут повне, так як математично обидва завдання тотожні.
3.4 Кінцева потенційна яма. Резонанси
Результати, отримані нами на прикладах стрибка потенціалу і безмежно глибокої ями, допоможуть нам розглянути більш складні випадки. В якості нового прикладу візьмемо потенціал, зображений на рис. 3.
Тут функція (x) приймає вигляд:
причому U2 lt; U1 lt; U3. [2]
Завдання про власні значеннях представляється різною залежно від величини? в порівнянні з постійними U1, U2 і U3.
а) U2 lt; ? lt; U1. Дискретний спектр і зв'язані стани.
Загальне рішення поводиться експоненціально в зовнішніх областях I і III, а у внутрішній області характер його поведінки осциляторний. Щоб бути прийнятним в якості власної функції, рішення має експоненціально затухати в обох зовнішніх областях. Існує одне і лише одне рішення, експоненціально загасаюче в області I, а також одне і тільки одне рішення, загасаюче в області III; ці два рішення узгоджено зшиваються тільки при деяких певних дискретних значеннях?.
Ми робимо висновок, що енергетичний спектр по необхідності дискретний і не виродилися. Функція?, За припущенням речова, в кожній з трьох областей має, вид:
(30)
Якщо фаза? відома, то дві умови безперервності функції визначають постійні А1, А2, А3 (з точністю до постійного множника). Що ж стосується?, То вона повинна задовольняти одночасно двом умовам безперервності логарифмічних похідних:
(31)
іншими словами
(n - ціле позитивне), (32)
(? определяёт? з точністю до доданка n?; ми вимагаємо, щоб k2b +? знаходилося в інтервалі (-?/2; +?/2)).
Це можливо в тому і тільки в тому випадку, коли праві частини двох останніх рівнянь рівні.
Зазначене рівність може бути реалізовано тільки за деяких дискретних значеннях? n величини?, а саме при тих значеннях, які задовольняють рівнянню
(33)
Введемо наступні позначення:
,
і нову змінну
Рівняння може бути записано у вигляді умови на?:
.
Останнє рівняння графічно вирішено на рис. 4. Коли? росте від U2 до U1,? росте від 0 до 1, а права частина рівняння зростає від 0 до?-?, На рис. 3 слідуючи кривій С (яка залежить тільки від параметра?). У то...
