го часу і не згадуються числа, більші 100000. У більш пізніх джерелах зустрічаються значно більші числа - до ста квадрильйонів (1017). В одній з порівняно молодих легенд про Будді говориться, що він знав назви чисел до 1054. Втім, індуси, по - видимому, не уявляли собі нескінченності натурального ряду, вони вважали, що існує якесь найбільше число, відоме тільки богам.
Доказ нескінченності числового ряду - заслуга давньогрецьких учених.
1.2 Непозиційної і позиційні системи числення
Система числення (Нумерація) - це спосіб представлення числа символами деякого алфавіту, які називаються цифрами.
Шляхом тривалого розвитку людство прийшло до двох видів систем числення: позиційної і не позиційною.
непозиційній системі числення
У найстародавнішої нумерації вживався лише знак | для одиниці, і кожне натуральне число записувалося повторенням символу одиниці стільки разів, скільки одиниць міститься в цьому числі. Додавання в такій нумерації зводилося до приписування одиниць, а віднімання - до їх викреслення. Для зображення скільки-небудь великих чисел цей спосіб нумерації непридатний через свою громіздкість.
При початковому навчанні в школі, коли рахунок ведеться в межах одного - двох десятків, цей спосіб нумерації успішно застосовується (рахунок на паличках).
У непозиційних системах числення сенс кожного знака зберігається і не залежить від його місця в запису числа.
До більш сучасним непозиційній системі відносять єгипетську ієрогліфічну систему нумерації, в якій були певні знаки для чисел: одиниця - I, десять - n, СТО -? і так далі; ці числа називаються вузловими. Всі інші натуральні числа, звані алгоритмічними числами, записуються одноманітно за допомогою єдиною арифметическої операції - складання. Наприклад, число 243 запишеться у вигляді ?? nnnn III, 301 - у вигляді ??? I.
До непозиційній системі відносять римську нумерацію. За вузлові числа в цій системі беруть числа: одиниця - I, п'ять - V, десять - X, п'ятдесят - L, СТО - З, п'ятсот - D, тисяча - М. Всі алгоритмічні числа виходять за допомогою двох арифметичних операцій: додавання і віднімання. Віднімання проводиться тоді, коли знак, відповідний меншому вузловому числу, стоїть перед знаком більшого вузлового числа, наприклад, VI - шість (5 + 1=6), ХС - дев'ятдесят (100-10=90), 1704 - МОССIV, 193 -СХСШ , 687 - DCLXXXII.
У римській нумерації помітні сліди пятеричной системи числення, тому що в ній є спеціальні знаки для чисел 5, 50 і 500.
При запису чисел використовувався не тільки принцип складання, а й принцип множення.
Наприклад, в старо - китайській системі числення числа 20 і 30 зображувалися схематично, як 2,10 і 3,10. числа 10, 100, 1000 мали певні спеціальні позначення. Число 528 записувалося так: 5,100,2,10,8. Найбільш зручними серед непозиційних систем числення є алфавітні системи нумерації. Прикладами таких систем можуть служити ионийская система (Давня Греція), слов'янська, єврейська, грузинська та вірменська.
У всіх алфавітних системах істотним є позначення спеціальними символами - буквами в алфавітному порядку всіх чисел від 1 до 9, всіх десятків від 10 до 90 і всіх сотень від 100 до 900. Щоб відрізняти запис чисел від слів над буквами, що позначають цифри, у грецькій і слов'янській нумерації ставилася риса.
У грецькій системі числення число 543 записувалося: ??? (? - 500,? - 40,? - 3). У римській системі числення це число записується у вигляді DXLIII, в єгипетській ієрогліфічної - у вигляді ????? nnn III.
З цього прикладу видно перевага алфавітній нумерації, в якій використовується цифровий принцип позначення одиниць, десятків, сотень. У записі великих чисел в алфавітній системі вже видно перехід до позиційної системі запису. Наприклад, 32543 записувалося так:
Рис. 4 - Перехід до позиційної системі запису
Найбільш зручними системами числення виявилися позиційні або помісні системи.
Позиційні системи числення
Позиційна система числення - це сукупність визначень і правил, що дозволяють записувати будь-яке натуральне число за допомогою деяких значків або символів, кожен з яких має певний сенс в залежності від його місця в запису числа (від його позиції). Найчастіше застосовують позиційну систему числення з фіксованим підставою. Підставою системи може бути будь-яке натуральне число?,? Gt; 1.
Систематичної записом натурального числа N за основою? називають подання цього числа у вигляді суми: N=аn? n + ... + а1?, + а0, де аn, ..., а1, а0 - числа...
