приймаючі значення 0, 1, ...,?- 1, причому, аn? 0.
Позиційна система числення з основою? називається?- Ічной (двійковій, трійкової і так далі). На практиці найчастіше застосовується десяткова?=10).
Для позначення чисел 0, 1, ...,?- 1 в?- Ічной системі числення використовують особливі знаки, звані цифрами. Староіндійські математики відкрили нуль - особливий знак, який повинен був показати відсутність одиниць певного розряду.
Для?- Ічной системи числення потрібно? цифр. Якщо? lt; 10, то застосовуються ті ж позначення цифр, що і в десятковій системі числення (тільки беруться цифри, менші підстави системи).
У системах з підставою? gt; 10 для чисел, більших або рівних 10, не вводять спеціальних символів, а використовують десяткову запис цих чисел, укладаючи цей запис в дужки. Наприклад, в четирнадцатерічной системі є чотирнадцятеро цифр: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).
У системі числення з основою?, так само як і в десятковій системі числення, місце, займане цифрою, вважаючи, справа наліво, називається розрядом.
Число N=аn? n +... + a1? + А0 містить а0 одиниць першого розряду, а1 одиниць другого розряду, а2 одиниць третього розряду і так далі. Одиниця наступного розрядку в? разів більше одиниці попереднього розряду.
Позиційні системи числення задовольняють вимозі можливості й однозначності записи будь-якого натурального числа.
Теорема. Будь-яке натуральне число N може бути записано в системі з підставу? і притому єдиним чином.
Доказ:
. Доведемо існування уявлення будь-якого натурального числа у вигляді:
N=an? n + a n - 1? n - 1 + ... + а? + а0. (1)
Доказ проведемо методом повної математичної індукції.
Подання числа N у вигляді (1) можливе для перших р - 1 натуральних чисел 1, 2, ...,?- 1, так як n=1 і число збігається з даними числом. Подання числа у вигляді (1) для чисел 1, 2,... ,?- 1, очевидно, можливі тільки єдиним способом: 1=1, 2=2 ,... ,?- 1 =?- 1.
Припустимо, що всі натуральні числа N? k (до? 1) представимо у вигляді (1). Доведемо що число до + 1 так само представимо у вигляді (1). Для цього розділимо із залишком число до + 1 на?:
K + l=s? + r, 0 lt; г lt; ?- 1, (2)
де s - неповне приватне і г - залишок.
Так як число s? k, то воно за припущенням індукції представимо у вигляді (1):
s=аn? n +... + a1? + а0, (3)
де 1? аn? ?- 1, 0? ai? ?- L, (i=0,1, .., n - 1)
Підставами виразу (2) і (3), отримаємо:
k + l=(an? + ... + аi? + а0)? + Г=аn? + ... + Ai? + a0? + Г (4)
де 1? an? ?- 1, 0? aj? ?- 1, 0? г? ?- 1 0=0,1 ,.. , n - 1)
Це вираз (4) дає уявлення числа до + 1 у вигляді (1):
К + 1=b n + 1? n + 1 + bn? n + ... + b1? + b0,
де b0=r, bi + 1-ai (i=0, l, .., nl)
2. Доведемо єдиність уявлення будь-якого натурального числа у вигляді (1).
Доказ проведемо методом математичної індукції.
Для чисел 1, 2, ...,?- 1 подання у вигляді (1) єдино.
Припустимо що для всіх натуральних N? k (до? 1) подання у вигляді (1) єдино. Доведемо, що число до + 1 може бути представлено у вигляді (1) тільки одним способом. Для цього розділимо із залишком число до + 1 на?:
K + l=s? + r, 0 lt; г lt; ?- 1 (5)
Припустимо, що до + 1 має два різних способу представлення:
до + 1=а n? n + аn - 1? n - 1 + .... + а1? + А () (6)
до + 1=b m? m + bm - 1? m - 1 + ... + b1? + b0 (7)
Уявімо: рівності (6) і (7) у вигляді:
+ 1=(а n? n - 1 + an - 1? n - 2+ ... + а1)? + а0 (6 *)
k + 1=(bm? m - 1 + bm - 1? m - 2+ ... + b)? + b0 (7 *)
Так як 0? а0? ?- 1 і 0? b0? ?- 1, то з (6 *) і (7 *) випливає, що неповне приватне s і залишок г у формулі (5) будуть:
S=аn? n - 1 + аn - 1? n - 2 + ... + a1=bm? m - 1 + bm - 1? m - 2+ ... + b1. r=a0=b0.
Так як s? k, з індуктивного припущення випливає, що число s має єдино представлення у виді (1), тобто:
nl=ml, ai=bi, (i=0,1,.., n - 1).
З останнього рівності має...
