гочлена F (z)=z2 + c, тобто тих значень z0, для яких поведінка послідовності zn може різко змінюватися при як завгодно малих змінах z0.
Рис.6. Безліч Жюліа
Другий варіант отримання фрактальних множин - введення параметра в многочлен F (z) і розгляд безлічі тих значень параметра, при яких послідовність zn демонструє певну поведінку при фіксованому z0. Так, безліч Мандельброта - це множина всіх, при яких zn для F (z)=z2 + c і z0=0 не прагне до нескінченності.
Ще один відомий приклад такого роду - басейни Ньютона.
Одним з найпоширеніших способів розфарбовування точок буде порівняння | z | із заздалегідь обраним числом, яке вважається «нескінченним», т. е. колір точки дорівнює номеру ітерації, на якій | z | досяг «нескінченності», або чорному в іншому випадку.
Також можна змінити вид фрактала, якщо контроль значення z вести іншим чином, наприклад:
· Дійсна частина z менше певного числа;
· Уявна частина z менше певного числа;
· І уявна і дійсна частини z менше якогось числа;
· Інші способи.
Рис. 7. Фрактальна форма підвиду кольорової капусти (Brassica сauliflora)
І, нарешті, ще один цікавий ефект - зміна палітри. Після того, як зображення побудовано, можна циклічно змінювати кольори зафарбованих областей, і тоді і без того дивовижне зображення «оживе» на екрані.
Рис 8. Безліч Мандельброта
В якості прикладу розглянемо безліч Мандельброта (див. pіс.8 і рис.9). Алгоритм його побудови заснований на простому итеративном вираженні:
[i + 1]=Z [i] * Z [i] + C,
де Z [i] і C - комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки C квадратної або прямокутної області - підмножині комплексній площині. Ітераційний процес продовжуєтьсяться до тих пір, поки Z [i] не вийде за межі кола радіуса 2, центр якої лежить в точці (0,0), (це означає, що аттрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великого числа ітерацій (наприклад , 200-500) Z [i] зійдеться до якої-небудь точці кола. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z [i] залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C (якщо Z [i] залишається всередині окружності протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється, і ця точка растра забарвлюється в чорний колір ).
Рис 9. Ділянка кордону множини Мандельброта, збільшений у 200 pаз
Вищеописаний алгоритм дає наближення до так званого безлічі Мандельброта. Безлічі Мандельброта належать точки, які протягом нескінченного числа ітерацій не йдуть у нескінченність (точки, що мають чорний колір). Точки, що належать границі безлічі (саме там виникає складні структури), ідуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать за межами множини, йдуть у нескінченність через декілька ітерацій (білий фон).
Стохастичні фрактали.
Крива Коха, як би не була схожа на кордон берега, не може виступати в якості її моделі через те, що вона всюди однакова, самоподобна, занадто «правильна». Всі природні об'єкти створюються за примхою природи, в цьому процесі завжди є випадковість. Фрактали, при побудові яких в итеративной системі випадковим чином змінюються будь-які параметри, називаються стохастичними. До цього класу фракталів відноситься і фрактальна монотипія, або стохатіпія lt; # justify gt; · траєкторія броунівського руху на площині і в просторі;
· межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 році Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельброта про те, що її розмірність дорівнює 4/3.
· еволюції Шрамма-Лёвнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають у критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, в моделі Ізінга і перколяції.
· різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр. Плазма - приклад використання такого фрактала в комп'ютерній графіці.
Рис.10. Рандомізований фрактал на основі безлічі Жюліа
Рандомізованний (стохастичний) фрактал будується за звичайним алгоритмом, за винятком того, що при обчисленні на кожній ітерації додаються випадкові величини.
Плазма
Типовий представник даного класу фракталів Плазма raquo ;. Для її побудови візьмемо прямокутник і для кожного його кута визначимо колір. Далі знаходимо центральні точки прямокутника і його сторін, та розфарбовуємо їх в колір, рівний середньому арифметичному квітів по кутах прямокутника плюс деякий випадкове число, пропорційне розміру разб...
