ему за проміжок часу
?, розподілено за законом Пуассона: (6)
де Р (k, - імовірність того, що за час ? в систему надійде точно k заявок; - інтенсивність потоку заявок.
Математичне сподівання і дисперсія розподілу Пуассона рівні. Вид залежностей цього розподілу при для різних, зображений на рис. 1. p> Слід підкреслити, що розподіл Пуассона дискретно. Стаціонарний пуассоновский потік є найпростішим. p> Якщо нестаціонарний потік, інтенсивність якого представляє собою функцію часу , описується законом розподілу Пуассона, то такий потік називається пуассоновским, але не пробачить. У розподілі Пуассона тривалості інтервалів між двома послідовними заявками - це випадкові величини з експоненціальним розподілом. p> ерланговський потік. У загальному випадку інтервали часу між вступом заявок можуть мати функцію розподілу загального вигляду G (). Якщо інтервали незалежні, то говорять, що заявки утворюють рекурентний потік або потік з обмеженим післядією. p> Потік називається рекурентним (потоком Пальма), якщо він стационарен, ординарний, а інтервали часу між заявками являють собою незалежні випадкові величини з однаковим довільним розподілом. Тоді найпростіший потік розглядається як окремий випадок рекурентного потоку. Прикладом рекурентного потоку може служити потік Ерланга. br/>
Рис. 2. Потоки Ерланга
Потоком Ерланга го порядку називається потік, у якого інтервали часу між моментами надходження двох послідовних заявок являють собою суму k незалежних випадкових величин, розподілених за експоненціальним законом з параметром . Потік Ерланга виходить з найпростішого шляхом виключення ( k - 1) заявок із збереженням кожної k-й заявки (рис. 2). Щільність розподілу інтервалу часу між двома сусідніми заявками в потоці Ерланга k-го порядку
(7)
Потік Ерланга перетворюється на найпростіший при k = 1. Наведені потоки найбільш широко використовуються в теорії масового обслуговування, у тому числі при аналітичному моделюванні ВС.
. Марківські моделі
Загальні відомості. У теорії масового обслуговування до найбільш вивченим і дослідженим належать моделі, у яких випадковий процес функціонування відноситься до класу марківських процесів, т . е. марковські моделі.
Випадковий процес, що протікає в системі, називається марковским, якщо для будь-якого моменту часу імовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан.
При дослідженні НД аналітичним моделюванням найбільше значення мають марковські випадкові процеси з дискретними станами і безперервним часом. p align="justify"> Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його можливі стану z 1 , z 2 , ... можна заздалегідь перерахувати, тобто стану системи належать кінцевому безлічі, і перехід системи з одного стану в інший відбувається миттєво.
Процес називається процесом з безперервним часом, коли зміна станів може відбутися в будь-який випадковий момент.
В
Рис. 3. Приклад графа станів
Опис марковській моделі. Для опису поведінки системи у вигляді марковській моделі слід визначити поняття стану системи; виявити всі стани, в яких може перебувати система; вказати, в якому стані знаходиться система в початковий момент; побудувати граф станів, тобто зобразити всі стани, наприклад, гуртками та можливі переходи зі стану в стан - стрілками, що з'єднують стану (на рис. 3 виділено п'ять станів); розмітити граф, тобто для кожного переходу вказати інтенсивність потоку подій , переводять систему зі стану z i в стан z j
(8)
де p ij (t, t + - ймовірність переходу зі стану zi в стан zj за час від t до t +.
Для стаціонарних марковських процесів інтенсивності переходів не залежить від часу: ij (t) = ij , тоді p ij (t, t + .
Поняття стану залежить від цілей моделювання. В одному випадку, наприклад, воно може бути визначене по станах елементів, кожен з яких може бути "вільний" або "зайнятий" в іншому випадку стан системи визначається числом заявок, що перебувають на обслуговуванні і в черга...
