Знайдемо середнє число заявок в черзі до обслуговуючого приладу - середню довжину черги l . Вона дорівнює середньому числу заявок в системі за вирахуванням середнього числа заявок, що перебувають під обслуговуванням. Кількість заявок під обслуговуванням може дорівнювати нулю, якщо прилад вільний, або одиниці, якщо прилад зайнятий. У сталому режимі математичне сподівання такої випадкової величини одно ймовірності того, що прилад зайнятий. А ця ймовірність визначена раніше - ?. Звідки виходить середня довжина черги в СМО:
(6)
Залежність середньої довжини черги від коефіцієнта завантаження зображена на рис. 2. При? > 0,6-0,7 чергу стрімко збільшується і при? 1 йде в нескінченність. У детермінованою системи коефіцієнти варіації інтенсивностей потоків заявок та обслуговування дорівнюють нулю, при? <1 черга відсутня, а при? 1 - йде в нескінченність. Для систем, які мають проміжні коефіцієнти варіації 0 < 1, залежно середньої довжини черги від коефіцієнта завантаження лежать в області, заштрихованої на рис. 2. p> Час реакції . Для визначення середнього часу реакції розглянемо потік заявок, що прибувають в СМО, і потік заявок, які покидають систему. Якщо в системі встановлюється граничний стаціонарний режим при? <1, то середня кількість заявок, що прибувають в одиницю часу, дорівнює середньому числу заявок, які покидають її: обидва потоку мають інтенсивність. br/>В
Рис. 2. Залежність середньої довжини черги від коефіцієнта завантаження для найпростішої СМО
В
Рис. 3. Тимчасова діаграма процесів надходження та догляду заявок
Позначимо через Х (t) число заявок, що надійшли в СМО до моменту часу t, а через Y (t) - число заявок, що покинули СМО до моменту t. Та і. інша функції є випадковими і змінюються стрибком - збільшуються на одиницю в моменти приходу або відходу заявок (рис. 3).
Очевидно, що для будь-якого моменту часу t різниця функцій п (t) = Х (t) - Y (t) є число заявок, що знаходяться в СМО. Розглянемо великий проміжок часу Т і обчислимо середнє число заявок, що знаходяться в системі:
В
Інтеграл зображений у вигляді заштрихованої фігури на рис. 3. Вона складається з прямокутників, кожен з яких має висоту, рівну одиниці, і підстава, рівний часу перебування в системі i-ї заявки ti:
В
де сума поширюється на всі заявки, що надійшли в систему за час Т.
Розділимо праву і ліву частини на Т.
В
Розділимо і помножимо праву частину на:
В
Твір,-це середня кількість заявок, що прийшли за час Т. Якщо розділити суму всіх часів t i на середнє число заявок, то вийде середній час перебування заявки в системі, тобто середній час реакції і:
(7)
Це формула Літтла: кожної СМО при будь-якому характері потоку заявок і при будь-якому розподілі часу обслуговування середній час реакції дорівнює середньому числу заявок в системі, поділене на інтенсивність потоку заявок. Звідси виходить:
(8)
Друга формула Літтла пов'язує середній час перебування заявки в черзі і середнє число заявок в черзі подібним співвідношенням:
(9)
Середній час реакції дорівнює сумі середнього часу перебування заявки в черзі і середньої тривалості обслуговування заявки:
(10)
Важливо відзначити, що в системі М/М/1 часи очікування і реакції, а також періоди між моментами догляду наступних один за одним заявок розподілені за експоненціальним законом. Для інших систем при аналітичному моделюванні не завжди представляється можливим визначити закони розподілу вихідних характеристик.
При ? > 1 в системі не встановлюється стаціонарний режим. У межі довжина черги, а значить, і часи очікування і реакції прагнуть до нескінченності.
. Характеристики обчислювальних систем як складних систем масового обслуговування
Багатомірний потік. На вхід обслуговуючого приладу може надходити багатовимірний потік заявок, що складається із заявок типів 1, ..., М, у яких інтенсивності дорівнюють Припустимо, що кожний з потоків заявок одного типу є найпростішим. Завантаження приладу потоком заявок типу i становитиме
В
де - середня тривалість обслуговування заявок типу i. Сумарна завантаження приладу з боку всіх потоків
(11)
<...
