br/>
Рис. 4. Граф станів багатоканальної СМО
моделювання параметрична ідентифікація обчислювальна система
Умова існування стаціонарного режиму: Р <1. Інші характеристики обслуговування ni, li, ui, визначаються для кожного i-гo потоку окремо за формулами (5) - (9). p> Середні часи очікування СР і реакції Uср по одній заявці з сумарного потоку в системі пов'язані з середніми кількостями заявок в черзі і в системі наступнимиспіввідношеннями
(12)
(13)
де - сумарна інтенсивність потоків; - імовірність того, що яка заявка є заявкою i-гo типу;
lcp - середня довжина черги заявок всіх типів; n ср - середня кількість заявок всіх типів в системі.
Багатоканальна СМО. Припустимо, що система має т обслуговуючих каналів з однаковою інтенсивністю обслуговування , при загальному найпростішому потоці заявок з інтенсивністю. Така система умовно позначається М/М/Т. Граф станів цієї системи (рис. 4) подібний графу одноканальної СМО. Інтенсивності переходу в сусіднє праве стан визначаються, як і у одноканальної СМО, інтенсивністю вхідного потоку: з приходом черговий заявки система переходить у наступне праве стан. Інакше йде справа з інтенсивностями у нижніх стрілок. Нехай система перебуває в стані z1 - працює один канал. Він виробляє обслуговуванні в одиницю часу. Тоді. Уявімо, що система знаходиться в стані z2. Для переходу в стан z1 треба, щоб закінчив обслуговування перший або другий канал. Значить, сумарна інтенсивність їх обслуговування Сумарний потік обслуговування k каналами має інтенсивність k . При k т інтенсивність обслуговування зберігається т . Виходить модель розмноження і загибелі. Роблячи викладки, як для одноканальної СМО, отримаємо
В В
Середня довжина черги
(14)
Додаючи до неї середнє число заявок, що перебувають під обслуговуванням, рівне середньому числу зайнятих каналів
В
отримаємо середнє число заявок в системі:
(15)
За формулами Літтла визначається середній час перебування заявки в черзі:
(16)
і в системі - час реакції:
(17)
У теорії масового обслуговування є аналітичні формули для найпростіших СМО при одновимірному і багатовимірному потоці заявок для одноканальних і багатоканальних систем без обмежень і з обмеженнями довжин черг.
Потоки обслуговування. При моделюванні конкретних НД потоки заявок і обслуговування можуть відрізнятися від найпростіших. Потоки заявок можуть бути, наприклад, пуасонівськими або ерланговський. Тривалості обслуговування можна представити в загальному випадку гамма-розподілом. Це розподіл з щільністю ймовірності
(18)
де - математичне сподівання тривалості обслуговування М []; k - параметр розподілу (k 1); Г (k) - гамма-функція.
Дисперсія гамма-розподілу
(19)
При k = 1 гамма-розподіл вироджується в експоненціальне. У межі при k це розподіл стає детермінованим з постійною тривалістю обслуговування. Параметр розподілу k може бути визначений з математичного очікуванню і дисперсії:
(20)
В
Рис. 5. Нормований розподіл Ерланга
При целочисленном k Г (k) = (k- 1)!. Тоді з рівняння (18) маємо
, (21)
Це щільність нормованого розподілу Ерланга k- го порядку. Вид розподілу зображений на рис. 5. У даному розподілі на відміну від потоку Ерланга математичне сподівання не залежить від k і при k це розподіл прагне до детермінованого, а не до нормального. p> У приватних випадках тривалості обслуговування можуть бути розподілені за експоненціальним, рівномірному, нормальному та іншим законам. Для деяких сполучень законів розподілів потоків заявок і обслуговуванні отримано аналітичні залежності характеристик від параметрів системи. p> Системи з довільним розподілом тривалості обслуговування. Уявімо, що моделлю ПС є одноканальна СМО з необмеженою чергою. У цю систему надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю . Заявки обслуговуються в порядку надходження. Тривалість обслуговування має довільне розподіл з математичним очікуванням і коефіцієнтом варіації. Така система позначається M/G/1. У цій системі в сталому режимі середнє число заявок в черзі
(26) ...
