олення граничної умови (2.3) необхідно, щоб на поверхні кулі було постійним, звідси знаходимо, так що
(3.5)
де - кут між і.
Якщо наше тіло апроксимувати системою з N куль, ми можемо визначити потенціал на i-му кулі як
(3.6)
де - вектор, що з'єднує i-ий і j-ий кулю. Скориставшись відомим співвідношенням
(3.7)
отримуємо систему з N рівнянь:
(3.8)
Ця система може бути вирішена методом простих ітерацій. Знаючи поле на кожному кулі, легко знайти потенціал в довільній точці:
(3.9)
Знаючи потенціал, з відомого співвідношення
(3.10)
можна отримати коефіцієнти деполяризації.
Точність методу ДП контролюється порівнянням з аналітичним рішенням для коефіцієнтів деполяризації кулі (для якого з міркувань симетрії, очевидно, що) з результатом, отриманим за допомогою ДП. У загальному випадку, можна виділити два джерела похибок, що виникають при вирішенні задачі обчислення коефіцієнтів деполяризації методом ДП [15, 16]. Перший з них пов'язаний з поданням безперервного (монолітного) тіла набором елементарних розсіювачів (куль). Інше джерело похибок пов'язаний з наближеністю рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Тим не менш, метод дискретних наближень забезпечує хорошу точність.
.2 Розрахунок коефіцієнтів деполяризації модельних геометричних об'єктів
На основі вищевикладеної теорії був розроблений ефективний обчислювальний алгоритм і створена комп'ютерна програма для розрахунку коефіцієнтів деполяризації тел довільної форми методом дискретного наближення [14]. Вона дає гарну згоду з аналітичним рішенням для тел стандартної форми. На рис. 3.1-3.5 представлені геометричні об'єкти стандартної форми і їх коефіцієнти деполяризації.
Рис. 3.3-3.5 показують тіла довільної форми і їх коефіцієнти деполяризації (рис. 3.3 - еліпс; рис. 3.4 - конус; рис. 3.5 - півсферу).
На рис. 3.6-3.7. показані реальні кристалічні структури сироватковогоальбуміну і фібриногену, побудовані на основі рентгеноструктурних координат (ProteinDataBank, структура 1bm0 і 1DEQ).
Розроблений обчислювальний алгоритм дозволяє з хорошою точністю розраховувати коефіцієнти деполяризації тел довільної форми методом дискретного наближення. У загальному випадку метод може бути застосований для будь-яких геометричних, хімічних або біологічних структур (ДНК, клітини) із заданою формою і топологією поверхні для вирішення різних завдань, що вимагають визначення коефіцієнта деполяризації.
Рис. 3.1 Нескінченний циліндр. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.0, A y=0.5, A z=0.5
Рис. 3.2 Сфера. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.333350, A y=0.333326, A z=0.333324
Рис. 3.3 Еліпс. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.181851, A y=0.409075, A z=0.409075
Рис. 3.4 Конус. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.330048, A y=0.328987, A z=0.340965
Рис. 3.5 Півсфери. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.379408, A y=0.309942, A z=0.31065
Рис. 3.6 Модель структури САЧ. Коефіцієнти деполяризації: A x=0. 325583, A y=0. 348100, A z=0. 326317
Рис. 3.7 Модель структури фібриногену. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.389983, A y=0.36886, A z=0.241157
3.3 Заповнення порожнистих частин модельних геометричних об'єктів
Для моделей білків характерна не щільна упаковка атомів. Це може впливати на розрахунки коефіцієнтів деполяризації. Шляхом заповнення порожнин частинками в модельних геометричних об'єктах припускаємо, що вплив пустот на результати розрахунків зменшиться.
Був розроблений алгоритм заповнення порожнистих частин модельних об'єктів для більш точного розрахунку коефіцієнтів деполяризації. Алгоритм заснований на тому, що заповнюються тільки внутрішні порожнини об'єктів, не збільшуючи його геометричних розмірів. Для розгляду візьмемо куб. При відсутності внутрішніх точок куба їх можна відновити знаючи тільки координати його кутів. Даний алгоритм був випробуваний на геометричних фігурах з розділу 3.2. Для цього з файлу даних були хаотично видалені координати різної кількості точок, і було вироблено їх відновлення за допомогою програми реалізувала цей алгоритм. На малюнках 3.8-3.11показани об'єкти та їх коефіцієнти деполяризації після видалення точок і після їх відновлення.
Рис. 3.8 Нескінченний циліндр після видалення точок. Коефіцієнти деполяризації: A x=0.0, A y=0.5, A z=0.5
Рис. 3.9 Нескінченний цилін...
