имана формула:
(2.7)
Ця формула справедлива в діапазоні об'ємних концентрацій від 0 до 1.
Якщо розкласти (2.1) в ряд [2, 3] за ступенями
(2.8)
то аж до членів порядку ЕДП не буде залежати від форми включень і з точністю до членів порядку співвідношення (2.1) симетрично щодо матриці і включень.
Проведені аналогічні розкладання ЕДП Максвелла Гарнетта, Браггемана, Дебая [8] показали, що всі ці варіанти збігаються, принаймні, з точністю до членів порядку. Таким чином, маючи справу із сумішами, компоненти яких близькі за своїми характеристиками (?? lt; lt; 1), можна не турбуватися ні про те, яку з компонент назвати включеннями, ні про те, яка їхня форма. Крім того, не потрібно думати, яке з численних виразів для ЕДП краще - будь-яке з них добре. З роботи [9] випливає, що і формула Максвелла Гарнетта і формула Браггемана для діелектричної проникності є наслідком одного і того ж інтегрального рівняння і залежно від виду наближень виходить та чи інша формула. А в роботі [3] показано, що практично всі формули для обчислення ЕДП гетерогенної системи, що містить частки довільної форми, є частними випадками формули:
(1.9) яку можна записати як
(2.10)
де - об'ємна частка частинок, а - відношення середніх значень напруженості електричного поля всередині частинки і в суміші, залежне від форми, обсягу, орієнтації частинок, а також від діелектричної проникності частинок і середовища.
Вираз (2.10) доцільно використовувати при розгляді матричних систем, коли частки однієї речовини (включення) рівномірно розподілені в іншій фазі (матриці), а виразом (2.9) зручно користуватися при розгляді статистичних сумішей, в яких обидві фази рівноправні. Крім того, співвідношення (2.9) і (2.10) легко узагальнюються на випадок довільного числа компонент.
У разі включень еліпсоїдальної форми при довільній орієнтації і малої концентрації частинок коефіцієнт f1 згідно [4] дорівнює:
(2.11)
Підставляючи формулу (2.11) в (2.9) отримуємо наступне співвідношення для ЕДП [5, 10]:
(2.12)
З цього виразу можна отримати, як наслідок, рішення для частинок якої іншої форми: сферичних, пластинчастих, голкоподібних [2].
Всі наведені вище рівняння справедливі тільки для випадку однорідних включень. Проте у ряді робіт були отримані вирази і для обчислення ЕДП середовища, що містить неоднорідні включення [11-13].
3. Теоретичні методи дослідження
.1 Теорія методу розрахунку коефіцієнтів деполяризації частинок довільної форми
Якщо незаряджене провідне тіло довільної форми помістити в однорідне електричне поле напруженістю, то тіло придбає деякий дипольний момент. У тензорною формі зв'язок між і можна записати як
(3.1)
де - тензор другого рангу. Його головні значення позначаються, як і називаються коефіцієнтами деполяризації [4]. Вони залежать тільки від форми тіла, але не від його обсягу. Однак знаходження даних параметрів для випадку тіла довільної форми являє собою непросту задачу.
Дійсно, нехай довільне заряджене провідне тіло, що займає область простору V, знаходиться в однорідному полі. Тоді потенціал поля поза тілом повинен задовольняти рівнянню Лапласа
(3.2)
с граничним умовою
, (3.3)
де S задає всі крапки поверхні, що обмежує обсяг V. Отримати рішення рівняння в явному вигляді для тіла довільної форми не представляється можливим через очевидні труднощів у математичному описі поверхні S, і, отже, у задоволенні граничній умові (3).
Серед підходів до визначення поля зарядженого провідного тіла довільної форми може використовуватися метод дискретного наближення (ДП) [15, 16]. Від інших методів він відрізняється тим, що не накладає ніяких обмежень на форму і структуру матеріалу зарядженого провідного тіла. З цієї причини цей метод і був використаний в даній роботі. Розглянемо докладніше метод дискретного наближення.
Замінимо досліджуване заряджене провідне тіло дискретної системою досить малих об'єктів, розташувавши їх у вузлах кубічної решітки, рівномірно заповнює об'єм. Виберемо як таких об'єктів кулі як найбільш зручні для розрахунків, хоча об'єкти якої іншої форми також підходять.
Нехай кулю радіуса а знаходиться у зовнішньому однорідному полі. Будемо шукати потенціал цього поля у вигляді, де - потенціал зовнішнього поля, а - шукане зміна потенціалу, викликане кулею. Зважаючи симетрії кулі функція може залежати тільки від одного постійного вектора. Єдине таке рішення рівняння Лапласа, яка звертається до 0 на нескінченності, має вигляд [1, 4]:
(3.4)
де - вектор, що задає точку спостереження. Для задов...
