осинуси:
. (8.1)
Коефіцієнти розкладання можна обчислювати за формулами (7.4), в які входять лише значення спочатку заданої функції:
. (8.2)
Аналогічно, якщо функцію продовжити на проміжок [- L , 0] непарних чином, вважаючи для, і розкласти отриману функцію в ряд Фур'є на проміжку [- L , L ], то в цьому розкладанні будуть утримуватися тільки синуси:
(8.3)
де
. (8.4)
На проміжку [0, L ] ряди (8.1) і (8.3) представляють одну і ту ж функцію, але поза цього проміжку ці ряди поводяться по-різному. Так на проміжку [- L , 0] ряд (8.1) сходиться до четному, а ряд (8.3) до непарному продовженню функції.
Функції
; (8.5)
, (8.6)
що залучені до разложениях (8.1) і (8.3), утворюють ортогональні системи на проміжку [0, L ]. Крім того, як неважко перевірити,. Тому величини і, що визначаються формулами (8.2) і (8.4), являють собою коефіцієнти Фур'є функції щодо ортогональних систем (8.5) і (8.6) відповідно, і, отже, ряди (8.1) і (8.3) є рядами Фур'є на проміжку [0, L ] для цієї функції.
Зауваження . Якщо функцію, задану на [0, L ], продовжити довільним чином на проміжок [0, L ], наприклад, просто поклавши для, то її розкладання в тригонометричний ряд буде містити і синуси, і косинуси:
. (8.7)
На проміжку [0, L ] цей ряд буде представляти задану функцію, але, на відміну від рядів (8.1) і (8.3), ряд (8.7), взагалі кажучи, не є поруч Фур'є для функції на зазначеному проміжку, так як система функцій
,
що бере участь у розкладанні (8.7), що не ортогональна на [0, L ] (см В§ 2, вправа 2, д). br/>
В§ 9. Ряди Фур'є для комплексних функцій
Розглянемо елементи теорії рядів Фур'є для комплексних функцій, тобто функцій виду, де i - уявна одиниця, - Речові функції речового аргументу. Позначимо символом безліч комплексних кусково-неперервних функцій, визначених на проміжку. p> Скалярним твором функцій назвемо комплексне число
,
де - функція, комплексно зв'язана з функцією. властивості скалярного твори комплексних функцій такі:
1. p> 2. білінійну br/>
,.
Довести властивості 1 і 2 пропонуємо самостійно. p> Як і раніше, функції f і g будемо називати ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Визначення норми функції залишимо колишнім, так що
.
Властивості норми, які зазнали змін при переході від дійсних функцій до комплексним, наступні:
1. теорема косинусів.
або в більш загальному вигляді
. (9.1)
2. Узагальнена теорема Піфагора. Якщо, то
.
Довести властивості 1 і 2 слід самостійно.
3. Нерівність Коші - Буняковського. Якщо функції і безупинні, то.
Справді, якщо, то на, і доказувана нерівність виконується. Нехай. Число вочевидь, не негативно. З іншого боку, за формулою (9.1), де і, маємо
В
.
Таким чином,, а так як, те, що й потрібно було довести.
Нехай тепер система комплексних функцій
(9.2)
ортогональна на проміжку. Зіставимо функції її ряд Фур'є
(9.3)
де коефіцієнти Фур'є
.
Введемо позначення: - часткова сума ряду Фур'є; - довільна лінійна комбінація функцій де.
Тоді, так ж, як для дійсних функцій (див. В§ 3), виконується нерівність
(9.4)
де, причому рівність має місце тоді і тільки тоді, коли, тобто серед всіх функцій функція дає найкраще среднеквадратическое наближення до функції. p> Збіжність ряду в середньому і замкнутість системи функцій визначаються точно так само, як у В§ 3:
а) якщо для деякої функції виконується рівність Парсеваля
, (9.5)
то ряд (9.3) сходиться в середньому до, тобто ; p> б) ортогональна система функцій (9.2) називається замкнутої на проміжку, якщо рівність Парсеваля виконується для кожної функції з. p> Введемо в розгляд систему комплексних функцій
. (9.6)
В
Властивості системи функції (9.6) такі:
1. . br/>
2. Функції є 2 L -періодичними: . p> 3. Система функцій (9.6) ортогональна на проміжку [- L , L ]. Дійсно, при
В
.
Тут використана формула.
4. . br/>
Ряд Фур'є для функції за системою функцій (9.6) має вигляд
, (9.7)
де коефіцієнти Фур'є
. (9.8)
Система функцій (9.6) замкнута на [- ...
