L , L ] (приймаємо без докази), тому для неї справедливі наступні твердження:
а) ряд (9.7) сходиться в середньому до,
б) для будь функції з виконується рівність Парсеваля,
в) среднеквадратическая похибка, що виникає при заміні функції часткової сумою її ряду Фур'є,
. p> Теорема Діріхле. Якщо речова і уявна частини функції задовольняють на проміжку [- L , L ] умовам Діріхле, то функція є сумою свого ряду Фур'є:
. (9.9)
При цьому передбачається, що діють колишні угоди щодо значень функції в точках розриву і на кінцях проміжку (див. В§ 3). p> Вправа 1. Довести справедливість формули (9.4). Довести, що з (9.4) слід нерівність Бесселя.
Вправа 2. Довести справедливість тверджень 1, 2 і 4. br/>
В§ 10. Комплексна форма тригонометричного ряду Фур'є
Нехай речова функція задовольняє умовами Діріхле на проміжку [- L , L ]. Запишемо її розкладання в тригонометричний ряд Фур'є:
, (10.1)
де
В
. (10.2)
Якщо в (10.1) виразити і через показову функцію від уявного аргументу:
В
то отримаємо ряд
, (10.3)
де в силу (10.2)
;
;
В
=
Останні три формули можна об'єднати:
. (10.4)
Ряд (10.3) з коефіцієнтами (10.4) називається тригонометричним рядом Фур'є в комплексній формі. p> Приклад 1. Розкласти функцію, де - комплексне число, в ряд Фур'є на проміжку.
Рішення . Знайдемо коефіцієнти Фур'є:
В
.
Оскільки, то
,
=.
Искомое розкладання буде мати вигляд
, (10.5)
де враховано, що
.
Застосовуючи до ряді (10.5) рівність Парсеваля
, (10.6)
можна знайти суму ще одного числового ряду. Дійсно, в нашому випадку
;
.
Тоді з (10.6) слід
.
Вправа 1. Довести, що
;.
Вказівка ​​. Покласти до (10.5) х = 0 і х = p. p> Вправа 2. Довести, що при
;.
Глава 2. Інтеграл Фур'є
В§ 11. Збіжність інтеграла Фур'є
Нехай функція визначена на всій числовій осі. Вважаючи, що на довільному кінцевому проміжку [- L , L ] задана функція задовольняє умовам Дирихле, представимо її тригонометричним рядом Фур'є в комплексній формі:
, (11.1)
де
; (11.2)
- частота k -й гармоніки;.
Ввівши в (11.1) вирази (11.2), отримаємо
. (11.3)
При величина. Права частина формули (11.3) аналогічна інтегральної сумі для функції по змінній w в проміжку. Тому можна очікувати, що після переходу в (11.3) до межі при замість ряду отримаємо інтеграл
. (11.4)
Формула (11.4) називається інтегральною формулою Фур'є, а її права частина - інтегралом Фур'є. p> Міркування, за допомогою яких отримано формулу (11.4), не є суворими і мають лише наводить характер. Умови, за яких справедлива інтегральна формула Фур'є, встановлює теорема, яка приймається нами без докази. p> Теорема. Нехай функція, по-перше, абсолютно інтегровна на проміжку, тобто інтеграл сходиться, і, по-друге, задовольняє умовам Дирихле на кожному кінцевому проміжку (- L , L ). Тоді інтеграл Фур'є сходиться (в сенсі головного значення) усюди до, тобто рівність (11.4) виконується при всіх х з проміжку. Тут, як і раніше, передбачається, що в точці розриву значення функції дорівнює напівсумі її односторонніх меж в цій точці. br/>
В§ 12. Перетворення Фур'є
Інтегральну формулу Фур'є (11.4) перетворимо таким чином. Покладемо
. (12.1)
Якщо функція неперервна і абсолютно интегрируема на всій осі, то функція неперервна на проміжку. Дійсно, так як, то
, (12.2)
і, оскільки інтеграл справа сходиться, то сходиться інтеграл зліва. отже, інтеграл у (12.1) сходиться абсолютно. Рівність (12.2) виконується одночасно для всіх, тому інтеграл (12.1) сходиться рівномірно відносно w. Звідси і випливає, що функція неперервна (точно так само, як з рівномірною збіжності ряду, складеного з безперервних функцій, слід безперервність його суми). p> З (11.4) отримаємо
. (12.3)
Комплексна функція, обумовлена формулою (12.1), називається перетворенням Фур'є або Фур'є-образом функції. У свою чергу, формула (12.3) визначає як звор...
