проміжку сума ряду Фур'є, якщо в точці х функція безперервна; в точках розриву; на кінцях проміжку, де - односторонні межі в точці а .
Якщо довизначити (або перевизначити) функцію, вважаючи в точках розриву і f (- L ) = = На кінцях проміжку, то відповідно до теореми Діріхле
, (6.1)
де коефіцієнти і раніше визначаються формулами (5.3).
Співвідношення (6.1) зазвичай називається розкладанням функції в тригонометричний ряд Фур'є. Члени ряду (6.1)
(6.2)
називаються гармоніками. Введемо в розгляд величини і, пов'язані з коефіцієнтами Фур'є і співвідношеннями і. Тоді гармоніка (6.2) запишеться у вигляді, де - амплітуда гармоніки; - її частота; - початкова фаза. Безліч частот утворює дискретний частотний спектр функції на проміжку [- L , L ]. Формула (6.1) прийме вид
, (6.3)
тобто функція, задовольняє умовам Дирихле, являє собою результат складання нескінченного числа гармонік. При цьому амплітуди і початкові фази доданків гармонік залежать від розкладається функції, а частотний спектр однаковий для всіх функцій, заданих на одному і тому ж проміжку.
З рівності Парсеваля (5.4) слід
, (6.4)
де. p> Таким чином, сума квадратів амплітуд гармонік дорівнює подвоєному середньому значенню квадрата функції на проміжку [- L , L ]. Співвідношення (6.4) часто називають енергетичним рівністю. p> У силу періодичності гармонік з збіжності ряду (6.3) на проміжку [- L , L ] слід його збіжність усюди, тобто на всій числовій осі. Сумою цього ряду, очевидно, буде 2 L- періодична функція, яка на проміжку [- L , L ] збігається із заданою функцією. Функція, визначена зазначеним чином, називається періодичним продовженням.
Теорема Діріхле (інша формулювання). Якщо функція задовольняє умовам Дирихле на проміжку [- L , L ], то тригонометричний ряд Фур'є (6.1) сходиться всюди до її періодичному продовження. p> Зауваження . Якщо функція, задана для всіх, є 2 L- періодичної, то її періодичне продовження збігається з самою функцією, і, отже, ряд Фур'є (6.1) являє функцію на всій числовій осі. У цьому випадку можна
отримати інші, іноді більш зручні в порівнянні з (5.3), формули для коефіцієнтів Фур'є:
В
, (6.5)
де з - Будь-яке число. p> Замість того, щоб встановлювати справедливість формул (6.5), доведемо більш загальне твердження: якщо функція має період Т , то інтеграл НЕ залежить від а . Дійсно,
В В
Виконавши в середньому интеграле заміну змінної і скориставшись періодичністю подинтегральной функції, отримаємо
В В
Останній інтеграл не залежить від а , що, власне, і потрібно було довести.
Таким чином, інтеграли в (6.5) не залежать від з . Вважаючи в цих формулах, переконуємося в тотожності виразів (5.3) і (6.5).
Якщо функція не є періодичною, то в формулах (6.5) у подинтегральних вираження замість функції має входити її періодичне продовження.
Вправа. Довести, що гармоніки (6.2) є періодичними функціями з періодом 2 L , тобто . br/>
В§ 7. Розкладання в тригонометричні ряди парних і непарних функцій
Функція, область визначення якої симетрична щодо початку координат, називається парною (непарною), якщо. Тоді або []. Так, наприклад, функції і непарні, а і парні. Легко бачити, що твір двох парних або двох непарних функцій - парна функція, а твір парною і непарної функцій - непарна функція. p> Пропонуємо довести самостійно наступні властивості визначеного інтеграла:
а) якщо функція парна, то
; (7.1)
б) якщо функція непарна, то
. (7.2)
Вказівка ​​. Уявити інтеграл у вигляді суми інтегралів: і в першому з них виконати заміну. ​​
Нехай парна функція задовольняє умовами Діріхле на проміжку [- L , L ]. Твір буде непарною функцією, і, тому, в силу (7.2)
.
Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить тільки косинуси:
. (7.3)
Так як - парна функція, то внаслідок (7.1)
. (7.4)
Подібним же чином отримаємо, що ряд Фур'є непарної функції містить тільки синуси:
(7.5)
де
. (7.6)
В§ 8. Ряд Фур'є для функції, заданої на проміжку [0, L ]
Нехай функція задовольняє на проміжку [0, L ] умовам Діріхле. Побудуємо парне продовження даної функції на проміжок [- L , 0], вважаючи для. Отриману парну функцію розкладемо в тригонометричний ряд Фур'є (7.3), який містить лише к...
