омножити по черзі на кожний доданок: b, потім c, і отримані твори скласти ".
У всякому мові є своя письмова і усна мова. Вище ми говорили про писемного мовлення в математиці. А усне мовлення - це вживання спеціальних термінів або словосполучень, наприклад: "доданок", "Твір", "рівняння", "нерівність", "Функція", "графік функції", "координата точки", "Система координат" тощо, а також різні математичні твердження, виражені словами: "Число а ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли закінчується на 0 або парну цифру ".
Кажуть, що культурна людина, окрім рідної мови повинен володіти ще хоча б однією іноземною мовою. Це вірно, але вимагає доповнення: культурна людина повинна ще вміти говорити, писати і думати і на математичній мові, оскільки це та мова, на якому, як ми не раз вже переконувалися, "Каже" навколишня дійсність. Щоб оволодіти новою мовою, необхідно вивчити, як кажуть, його алфавіт, синтаксис і семантику, тобто правила написання і сенс, закладений в написаному. І, звичайно ж, в результаті такого вивчення уявлення про математичному мовою і предметі будуть постійно розширюватися.
4. Аксіоматичний метод
В основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод [1] - один із способів дедуктивного побудови наукових теорій. У підставі аксіоматично побудованої теорії лежать аксіоми , тобто пропозиції, прийняті без доказу. Всі інші пропозиції теорії виводяться з аксіом (тобто доводяться, є теоремами) на підставі логічних правил виводу і правил визначення пропозицій, що допускаються в даної теорії. Поняття аксіоматичної теорії було уточнено шляхом введення визначення формальної системи, що складається з мови системи, аксіом системи, правил виводу системи. Мова системи складається з алфавіту (переліку елементарних символів системи) і синтаксису (правил, за якими з елементарних символів будуються формули, пропозиції системи). Правила виводу дозволяють отримувати з аксіом теореми. p> Основними методами в математичних дослідженнях є математичні докази - суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, для оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична інтуїція. У математиці використовують два види умовиводів: індукція - метод дослідження, в якому загальний висновок будується не основі приватних посилок і дедукція - Спосіб міркування, за допомогою якого від загальних посилок слід висновок приватного характеру.
Створення дедуктивного або аксіоматичного методу побудови науки є одним з найбільших досягнень математичної думки. Воно зажадало роботи багатьох поколінь учених. Чудовою рисою дедуктивної системи викладу є простота цієї побудови, що дозволяє описати його в небагатьох словах. Дедуктивна система викладу зводиться: до перерахування основних понять, до викладу визначень, до викладу аксіом, до викладу теорем, до доказу цих теорем:
аксіома - твердження, що приймається без доказів, теорема - твердження, що випливає з аксіом, доказ - складова частина дедуктивної системи, це є міркування, яке показує, що істинність твердження випливає логічно з істинності попередніх теорем або аксіом.
Історія природознавства свідчить, що можливість аксіоматичної побудови тієї чи іншої науки з'являється лише на досить високому рівні розвитку цієї науки, на базі великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв'язки і співвідношення, які існують між об'єктами, досліджуваними даною наукою.
Зразком аксіоматичної побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії були викладені Евклидом (близько 300 р. до н. Е.) у неперевершеному за своєю значимістю працю - "Початки". Ця система в основних рисах збереглася і донині. p> Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті на п'ять груп. У п'ятій групі одна аксіома - аксіома про паралельні (V постулат Евкліда). Через точку на площині можна провести тільки одну пряму, не що перетинає дану пряму. Це єдина аксіома, викликала потребу докази. Спроби довести п'ятий постулат займали математиків більше 2-х тисячоліть, аж до першої половини 19 століття, коли Н.І. Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб. p> В даний час недоказовність п'ятого постулату є строго доведеним математичним фактом. Аксіому про паралельні Лобачевський замінив аксіомою: "Нехай у даній площині дана пряма і лежить поза прямій крапка. Через цю точку можна провести до цієї прямий, принаймні, дві паралельні прямі ". З нової системи аксіом він з бездоганною логічною строгістю вивів струнку систему теорем, що становлять зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського, як логічні системи рівноправні.
За геометрією Лобачевського виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася ...
