багатовимірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігурах в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія перетворилася на сукупність різноманітних теорій.
5. Математичні структури
Тепер спробуємо пояснити, що треба розуміти в загальному випадку під математичною структурою. Загальною рисою різних понять, об'єднаних цим родовою назвою, є те, що вони застосовні до безлічі елементів, природа яких не визначена.
Щоб визначити структуру, задають одне або декілька відносин, в яких знаходяться його елементи (у випадку груп - це відношення хП„у = z між трьома довільними елементами), потім постулюють, що дане відношення або дані відносини задовольняють деяким умовам (які перераховують і які є аксіомами розглянутої структури). Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це значить вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо розглянутих елементів (зокрема від всяких гіпотез щодо їх "природи").
Основні типи структур .
Відносини, які є вихідною точкою у визначенні структури, можуть бути за своєю природою вельми різноманітними. Те ставлення, яке фігурує в групових структурах, називають "законом композиції": це таке відношення між трьома елементами, яке визначає однозначно третій елемент як функцію двох перших - така структура називається структурою алгебри (наприклад, структура поля визначається двома законами композиції з належним чином вибраними аксіомами: додавання і множення дійсних чисел визначають структуру поля на безлічі цих чисел).
Інший важливий тип являють собою структури, певні відношенням порядку - це відношення між двома елементами х, у, яке найчастіше ми висловлюємо словами " х менше або дорівнює у " і яке ми будемо позначати в загальному випадку х Rу. Тут більше не передбачається, що це відношення однозначно визначає один з елементів х, у як функцію іншого. Аксіоми, яким воно підпорядковується, такі: а) для всіх х хRх; b) зі співвідношень хRу, уRх слід х = у, с) із співвідношень хRу, уRz слід хRz.
Очевидним прикладом безлічі, забезпеченого такою структурою, є безліч цілих чисел (або безліч дійсних чисел), причому тут знак R замінюється на ≤. Але треба зауважити, що ми не включили в число аксіом аксіому, відображатиме наступне властивість, яка здається невіддільним від того поняття порядку, яким ми користуємося в повсякденному життя: "хоч би які були х, у, має місце або хRу або уRх ". Іншими словами, не виключається випадок, коли два елементи можуть опинитися непорівнянними.
На перший погляд це може здатися дивним, але легко навести дуже важливі приклади структур порядку, для яких має місце саме ця обставина. Саме з таким станом речей ми стикаємося, коли X, Y означають підмножини деякого безлічі, а Х RY означає " X міститься в Y ", або коли х, у є натуральними числами, а хRу означає " х ділить y ", або, нарешті, коли f (х) і g ( x) є дійсними функціями, визначеними на інтервалі a ≤ x ≤ b, а f (х) Rg (х) означає: "яке б не було х , f (Х) ≤ g (х) ". Ці приклади в той же час показують, як велике розмаїття областей, де з'являються структури порядку.
Третій тип структур - топологічних структурах (топології) [2], в них знаходять абстрактну математичну формулювання інтуїтивні поняття околиці, межі і безперервності, до яких нас приводить наше уявлення про простір.
У кожній з представлених ( породжують) структур панує вже достатня різноманітність, так як там треба розрізняти найбільш загальну структуру розглянутого типу з найменшим числом аксіом і структури, які виходять з неї в результаті її збагачення додатковими аксіомами, кожна з яких тягне за собою і нові наслідки.
Саме таким чином теорія груп, крім загальних положень, які справедливі для всіх груп і залежать тільки від аксіом, перерахованих вище, містить, зокрема, теорію кінцевих груп (в якої додають аксіому, яка говорить, що число елементів групи звичайно), теорію абелевих груп (в яких маємо хП„у = УП„х , які б не були х, у ), а також теорію кінцевих абелевих груп (в якій передбачаються виконаними обидві вищевказані аксіоми). Точно так само серед впорядкованих множин розрізняють ті, в яких будь-які два елементи порівнянні і які називаються лінійно впорядкованими. Серед цих останніх особливо вивчають множини, звані цілком впорядкованими (В яких, так само як у множині натуральних чисел, кожна підмножина має "Найменший елемен...
