иною було те, що не встановлювалося зворотне відповідність.
Але основі побудови Евдокса виник метод вичерпання, заснований на аксіомі Архімеда. Тепер математики приписували довжини відрізкам, а порівнювали їх з іншими відрізками. В«... метод вичерпання ... дозволив грекам вирішувати завдання, стали згодом предметом обчислення нескінченно малих В»[1, стор 239].
Після розгрому античної культури, її досягнення підхопили араби, в тому числі і В«НачалаВ» Евкліда в яких описані ірраціональні числа. Однак математика арабів носила більше практичний, обчислювальний характер. В«Переважна місце ... зайняло створення різноманітних обчислювальних методів і вимірювальних засобів для потреб торгівлі, адміністративного управління, землемерия, картографії, астрономії, календаря і т.д. В»[11, стор 98]. Це сприяло тому, що араби оперували з ірраціональними числами формально вони не приділяючи особливої вЂ‹вЂ‹уваги теоретичному обгрунтуванню ірраціональних чисел. З цієї причини грань між В«справжнімиВ» числами і ірраціональними поступово стиралася. Також було зведено воєдино несумірність геометричних відрізків і арифметична ірраціональність.
У 1077 Омар Хайям, намагаючись подолати проблему несумірності, у своїй праці В«Коментарі до труднощів у введенні книги Евкліда В»визначає, два відношення рівними, якщо рівні всі відповідні неповні приватні розкладання цих дробів у безперервні дробу. Хайям показав равносильность цього визначення з античним і ввів множення і ділення відносин. У висновку своєї роботи Хайам приходить до необхідності узагальнення поняття числа і розширення його на ірраціональні числа. Ідеї вЂ‹вЂ‹Хайама отримали визнання серед арабських математиків. Його ідеї розвинув Ат-Тусі, а в XIII в. кожне відношення з упевненістю прирівнювалася до числа [11, стор 101]. Тут цікаво відзначити, що в Європі до XVI ст. існувало уявлення про несумірних.
У Середньовічній Європі питання, пов'язані з нескінченністю мали здебільшого схоластичний і метафізичний характер. <В
3В Становлення теорії межі
Сувора математична побудова поняття дійсного числа стала можливою завдяки теорії меж.
Людина, отримав сучасне математичну освіту насилу уявляє собі диференціальне та інтегральне числення без апарату теорії меж. Однак, історично похідна з'явилася раніше межі. Причини такого явища в [1] пояснюються нагальною потребою природознавства в XVII столітті методах диференціального та інтегрального числення.
У XVII ідеї пов'язані з інфінітезімальних методами почали бурхливо розвиватися. Тут варто відзначити таких математиків як Декарт, Ферма, Паскаль, Торрічеллі, Кавальєрі, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, розроблений в античності, знайшов широке застосування і розвиток. Досліджувалося питання дотичних - було дано визначення, більш загальне ніж античне, були побудовані методи відшукання дотичних. Були зроблені спроби ввести похідну. Було навіть встановлено, що завдання про знаходження дотичної обратна до задачі про квадратуру.
Незважаючи на відсутність строгості В«... математики досягали все більшої майстерності в поводженні з поняттями, що лежать в основі обчислення нескінченно малих В»[1, стор 263]. p> Методи нескінченно малих завойовують популярність у математиків і все більше використовуються і вдосконалюються. Інтегральне і диференціальне числення поступово оформляється і узагальнюється працями таких вчених як Ньютон (1643-1727) і Лейбніц (1646-1716). Так, Ньютон встановив зв'язок між похідною і інтегралом, запропонував новий метод розв'язання рівнянь за допомогою похідної. Він розробив метод флюксий, який пов'язав похідну з миттєвою швидкістю і прискоренням. За допомогою цього методу він розробляв інтегральне і диференціальне числення. Також Ньютон запропонував алгоритм для знаходження похідної функції, заснований на ранній формі теорії меж. Основою і потужним засобом методу флюксий було розкладання функцій в ряди, правда без належного обгрунтування їх збіжності.
Лейбніцу ми зобов'язані великою кількістю зручних і красивих позначень в інтегральному і диференціальному численні. До своїх результатами Лейбніц прийшов незалежно від Ньютона. Користуючись знаннями з комбінаторики він розробив формальний метод обчислення інтегралів. Лейбніц ввів поняття диференціала визначивши його через дотичні, знайшов деякі правила знаходження диференціала складної функції, а також ввів диференціали вищих порядків. Також Лейбніцем були розроблені методи пошуку точок екстремуму і точок перегину. Сильною стороною теорії Лейбніца, з точки зору практичних обчислень, була алгоритмічність і формальність.
І Ньютон, і Лейбніц вирішили безліч практично важливих завдань, пользуюясь поняттями нескінченно малих величин, їх точки зору на похідну і інтеграл відрізнялися один від одного. Так Ньютон для вирішення диференціальних завдань використовує метод флюксий, а Лейбніц диференціали. Ньютон розглядає...
