інтегрування як завдання зворотну диференціюванню (в наших поняттях, відшукання первообразной), а Лейбніц розглядає інтеграл як суму площ нескінченно малих прямокутників. Цілком природньо, що дві ці концепції були конкуруючими один одному.
Ньютон і Лейбніц, використовуючи в своїх викладках нескінченно малі, не могли пояснити їх природу, бо не уявляли собі малої величини і кінцевої і відмінною від 0. Обидва вчені близько підійшли до поняття межі, але В«.. вузька концепція числа, що не допускала ототожнення деяких відносин з числами, була частково причиною того, що ні в ньютонівської, ні в лейбніцевой теоріях не могло "Прорізатися" поняття межі В»[1, стор 275]. Математики користувалися інтуїтивними і геометричними міркуваннями. Функції розумілися як криві, отримані деяким рухом (так само як їх розглядали стародавні греки). В«Перші творці аналізу та їх послідовники брали як щось само собою зрозуміле справедливість двох основним уявлень про простір і механічному движени В»[4, стор 36]. Ймовірно з цієї причини зв'язок між безперервність і дифференцируемость довгий час вважалися майже синонімами.
Однак метод нескінченно малих довів свою плідність і потрібність математики, від цього проблема фундаменту для інтегрального та диференціального числення ставала ще гострішою. Суперечки були не тільки серед математиків; жорстким нападкам піддавалася вся математика, наприклад, з боку богослова Д. Берклі. Це стан математики XVII-XVII отримало назву другої кризи математики .
Слідом за Ньютоном і Лейбніцем спроби визначити поняття нескінченно малої робилися Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Ці спроби не можна назвати марними, цими роботами зміцнилося в матетіке поняття функцій, що зіграло свою роль подальші пошуки теорії меж. Однак побудувати зв'язану і Логічне обгрунтування теорію не вийшло.
Таким чином до XIX століття в математиці склалася парадоксальна ситуація. У наявності були безсумнівні успіхи математичних наук в природознавстві, розроблена методика поводження з рядами, диференціювання та інтегрування, вирішені багато важливих завдання, але понімнія на чому заснований математичний аналіз не було. Необхідність розібратися з фундамет нової математики стала загальною і нагальною.
Побудовою стрункою і строгою теорії нескінченно малих ми зобов'язані Огюстену Луї Коші (1789-1857). Слід визнати, що Коші був не першим математиком, хто прийшов до цієї ідеї, але, історично, його роботи зіграли у розвитку математичного аналізу ключову роль. Коші дав загальне визначення межі в описовій формі: В«Якщо значення, послідовно приписувані однієї і тієї ж змінної, необмежено наближаються до фіксованому значенню, так що в Зрештою відрізняються від нього як завгодно мало, то останнє називають межею всіх інших В»[2]. З точки зору цього визначення стало понтним що таке нескінченно мала величина - це всього лише величина, що має межа рівний 0, потім Коші визначивпоняття похідної і показав зв'язок цього визначення з диференціалами Лейбніца. Також він побудував першу строгу теорію інтегрування і довів зв'язок інтегрування і диференціювання.
Переоцінити внесок Коші в математику важко. Його роботами відкривалася нова епоха в математиці, В«... починається так звана" арифметизации "всієї математики В»[3, стор 117]. Завдяки роботам Коші математичний аналіз міцно і заслужено зайняв в математиці одне з головних місць. Методи Коші отримали загальне распрастраненних, застосовувалися опрацьовувалися все XIX століття. Ідеї вЂ‹вЂ‹та методи Коші плідно користуються і узагальнюються сучасними математиками і сьогодні. br/>В
4В Створення теорії дійсного числа
Після В«Наведення порядкуВ» в математичному аналізі постало питання про ситуацію в арифметиці. В«До необхідності розробки теорії дійсних чисел приводили багато завдань аналізу та деякі способи міркувань, що застосовувалися при вирішенні цих завдань В»[4, стор 61]. Проблема підстави, розуміння того, що ж таке число, в XIX ст. ще не була вирішена. З нашої точки зору, це було завдання про поповнення безлічі раціональних чисел. Її намагалися вирішити наступним способом (наведено за [4]):
Визначимо ірраціональне число як межа послідовності раціональних чисел. Треба показати, що така послідовність сходиться. Для цього скористаємося критерієм Коші, який буде справедливий для будь-яких раціональних значень, однак для того щоб відповісти на питання чи буде він справедливий для дійсних чисел необхідно мати певними ірраціональні числа. Виходив замкнуте коло.
Ця завдання було вирішено в XIX столітті з різних точок зору і незалежно один від одного Вейерштрасом, Дедекіндом, Кантором і Мере. p> 4.1В Карл Вейерштрасс
Карл Вейерштрасс народився в місті Остенфельд (передмістя Еннігерло), в сім'ї секретаря бургомістра. У 1834 р. з успіхом закінчив Пандерборнскую гімназію, його ім'я було в списку 11 найбільш талановитих учнів. За напол...
