якщо обидві посилки істинні, то Друга складова другий посилки повинно бути істинно; це означає, що q має бути істинно щоразу, коли обидві посилки істинні.
Условліваясь, що якщо НЕ-р істинно, то р повинно бути помилково, ми імпліцитно вживаємо В«закон протиріччяВ», стверджуючи, що НЕ-р і р не можуть бути щирі одночасно. Тому якби моїм завданням в зараз було привести докази на захист протиріччя, ми повинні були б насторожитися. Проте в даний момент я намагаюся тільки показати, що, застосовуючи загальнозначущі правила виведення, ми можемо вивести з пари двох суперечать посилок будь ув'язнення.
Застосовуючи наші два правила, ми дійсно можемо показати це. Припустимо, є дві суперечать один одному посилки, скажімо:
(а) Сонце зараз сяє.
(b) Сонце зараз не сяє.
З цих двох посилок можна вивести будь-яке висловлювання, наприклад, В«Цезар був зрадникомВ».
З посилки (а) ми можемо вивести, згідно з правилом (1), наступний висновок:
(c) Сонце зараз сяє v Цезар був зрадником. Взявши тепер в як посилок (b) і (с), ми можемо в кінцевому рахунку вивести, згідно з правилом (2):
(d) Цезар був зрадником.
Ясно, що за допомогою того ж методу ми могли б вивести і будь-яке інше висловлювання, наприклад, В«Цезар не був зрадникомВ». Так що з В«2 + 2 = 5 В»іВ« 2 + 2 цієї статті не = 5 В»ми можемо вивести не тільки те висловлювання, яке б нам хотілося, але також і його заперечення, яке могло і не входити в наші плани.
Звідси ми бачимо, що якщо теорія містить протиріччя, то з неї випливає все на світі, а значить, не випливає нічого. Теорія, яка додає до всякої затверджується в ній інформації також і заперечення цієї інформації, не може дати нам взагалі ніякої інформації. Тому теорія, яка містить в собі протиріччя, зовсім марна в якості теорії.
Зважаючи на важливість проаналізованої нами логічної ситуації, я представлю тепер кілька інших правил виводу, які призводять до того ж результату. На відміну від (1), ті правила, які ми зараз розглянемо, складають частину класичної теорії силогізму, за винятком правила (3), яке ми обговоримо першим.
З будь-яких двох посилок р і q можна вивести висновок, який тотожно однієї з них - скажімо, р; схематично:
В
Незважаючи на всю незвичність цього правила і на те, що його не визнають деякі філософу, це правило безсумнівно загальнозначуще: адже воно безпомилково призводить до істинного висновку завжди, коли істинні його посилки. Це очевидно і дійсно тривіально; та сама тривіальність робить це правило, у звичайному міркуванні, надлишковим, а тому і незвичним. Однак надмірність не їсти неспроможність.
На додачу до правилом (3), нам знадобиться ще одне правило, яке я назвав В«правилом непрямої редукціїВ» (оскільки в класичній теорії силогізму воно імпліцитно використовується для непрямого відомості В«недосконалихВ» фігур до першої, або В«досконалоїВ», фігурі). Припустимо, є загальнозначимих силогізм:
(а) Всі люди смертні. p> (b) Всі афіняни люди.
(с) Всі афіняни смертні. p> Тоді правило непрямої редукції говорить:
В
Наприклад, в силу общезначимости виводу (с) з посилок ( а) і ( b) силогізм
(а) Всі люди смертні (НЕ-с)
Деякі афіняни НЕ смертні (НЕ-b)
Деякі афіняни - не люди також повинен бути загальнозначущим.
Правило, яке ми будемо використовувати як незначне видозміна щойно сформульованого правила, наступне:
В
Правило (5) може бути отримано, наприклад, з правила (4) разом із законом подвійного заперечення, згідно з яким з ні-ні-b можна вивести b. Однак якщо (5) значимо для будь-якого висловлювання а, b, с (І значимо тільки за цієї умови), тоді воно має бути значимо і в тому випадку, якщо з виявиться тотожне а ', іншими словами, має бути значимо наступне:
В
Але (7) встановлює в точності те, що ми хотіли показати, а саме: з двох суперечливих посилок можна вивести будь-який висновок.
Може виникнути питання, чи поширюється це положення на будь-яку систему логіки або ж можна побудувати таку систему, в якій з суперечать один одному висловлювання не слід було б яке завгодно вислів. Я спеціально займався цим питанням і прийшов до висновку, що така система можлива. Вона виявляється, однак, надзвичайно слабкою. У ній зберігаються лише дуже небагато з звичайних правил виводу, не діє навіть modus ponens, встановлює, що з висловлювань форми В«Якщо р, то qВ» і р ми можемо вивести q. На мою думку, подібна система абсолютно непридатна для висновку висновків, хоча і представляє, можливо, певний інтерес для тих, хто спеціалізується на побудові формальних систем.
Іноді кажуть, що факт проходження з двох суперечать висловлювань будь-якого...
