а зробити, довівши, що в разі визнання двох суперечливих висловлювань доведеться визнати яке завгодно висловлювання: адже з пари суперечать висловлювань можна з повним правом вивести все що завгодно.
Оскільки це не завжди розуміють, тут буде дано вичерпне роз'яснення. Йдеться про один з небагатьох не зовсім тривіальних фактів елементарної логіки; він заслуговує того, щоб його знав і розумів кожна мисляча людина. Його можна легко пояснити тим читачам, що не відчувають неприязні до символів, схожим на математичні, а проте і ті, кому такі символи не подобаються, без праці в усьому розберуться, якщо тільки їм дістане терпіння присвятити цьому предмету кілька хвилин.
Логічний висновок здійснюється відповідно з певними правилами виведення. Висновок общезначім, якщо загальнозначуще правило висновку, на яке він спирається; а правило висновку загальнозначуще, якщо і тільки якщо воно ніколи не приводить від істинних посилок до помилкового висновку; або, іншими словами, якщо воно безпомилково переносить істинність посилок (за умови, що вони істинні) на укладання.
Нам знадобляться два таких правила виводу. Щоб роз'яснити перше і найбільш важке, введемо поняття складного висловлювання [compound statement). Такі, наприклад, такі висловлювання: В«Сократ мудрий і Петро - цар В», або В« Або Сократ мудрий, або Петро - цар (але не те і інше разом) В», або ще:В« Сократ мудрий та/або Петро - цар В». Два висловлювання (В«Сократ мудрийВ» і В«Петро - царВ»), з яких складається складене вислів, що називаються складовими висловлюваннями.
Нас цікавить тут одне складене висловлювання, а саме - побудоване таким чином, що воно істинно, якщо і тільки якщо істинно по принаймні одне з двох його складових. Незграбне вираз В«.і/абоВ» створює як раз таке складене висловлювання: В«Сократ мудрий та/або Петро - цар В»буде істинним, тільки якщо одне або обидва складові його висловлювання правдиві і воно буде хибним, якщо і тільки якщо обидва його складові помилкові.
У логіці прийнято заміняти вираз та/або символом В«vВ» і використовувати для позначення будь-якого виразу букви р і q. Ми можемо сказати, що висловлювання форми В«р v q" істинно, якщо істинно, принаймні, одне з двох складових р і q.
Тепер ми можемо сформулювати перше правило виводу. Висловимо його так:
(1) З посилки р (наприклад, В«Сократ мудрийВ») з повним правом можна вивести будь-який висновок форми В«р v qВ» (наприклад: В«Сократ мудрий v Петро - царВ»). p> Ми відразу ж зрозуміємо необхідну загальзначимість цього правила, якщо згадаємо про значення В«vВ». Цей символ створює складене висловлювання, яке істинно завжди, коли істинно, принаймні, одне з його складових. Відповідно, якщо р істинно, то р vq теж обов'язково істинно. Таким чином, наше правило ніколи не може приводити від істинної посилки до помилкового висновку, а це і означає, що воно загальнозначуще.
При всій своїй общезначимости перше правило виведення часто вражає незвичних до таких речей людей - воно здається їм дивним. І дійсно, це правило рідко застосовується у повсякденному житті, оскільки його висновок містить набагато більш мізерну інформацію, ніж посилка. Однак іноді воно все ж застосовується, наприклад при укладенні парі. Скажімо, я можу двічі підкинути монету, побившись об заклад, що орел випаде принаймні один раз. Це очевидним чином рівносильно поруки за істинність складного висловлювання В«орел випаде при першому підкиданні монети v, орел випаде при другій спробі В». Імовірність (у звичайному сенсі слова) такого висловлювання дорівнює 3/4; таким чином, воно відмінно від висловлювання В«орел випаде при першій спробі або орел випаде при другій спробі (але не двічі) В», ймовірність якого дорівнює 1/2 Всякий визнає, що я виграв парі, якщо орел випав при першому підкиданні монети, - іншими словами, що складене вислів, за істинність якого я поручився, має бути істинно, якщо істинно перше його складових; це показує, що ми міркували в Згідно з першим правилом виводу.
Ми можемо також записати перше правило в такий спосіб:
що читається так: В«з посилки р отримуємо наслідок р v qВ». Друге правило висновку, яким я збираюся скористатися, більш звично. Якщо заперечення р ми позначимо як "не-рВ», то правило можна сформулювати наступним чином:
, або в словесній формі:
(2) З двох посилок НЕ-р і р v q ми отримуємо висновок q.
загальнозначуща цього правила можна вважати встановленою, якщо прийняти, що висловлювання НЕ-р істинно тільки в тому випадку, коли р брехливо. Відповідно, якщо перша посилка НЕ-р істинна, тоді перше становить другий посилки помилково; отже,...
