Безперервність цієї функції в довільній точці ( x , y ) може бути доведена так:
| f (х + О” х , у + О” у) - f ( x , y ) | = | f (х + О” х) - х | = | О” х | ≤ 0.
Якщо робити над функціями x , y і постійними дії додавання, віднімання та множення в кінцевому числі, то будемо отримувати функції, звані многочленами від x , y . На підставі сформульованих вище властивостей многочлени від змінних x , y - безперервні функції від цих змінних для всіх точок ( x , y ) R 2 .
Ставлення P / Q двох многочленів від ( x , y ) є раціональна функція від ( x , < i> y ) , очевидно, безперервна всюди на R 2 , за винятком точок ( < i> x , y ) , де Q ( < i> x , y ) = 0.
Функція
В
Р ( x , y ) = х 3 - у 2 + х 2 у - 4
може бути прикладом многочлена від ( x , y ) третього ступеня, а функція
В
Р ( x , y ) = х 4 - 2 х 2 у 2 + У 4
є приклад многочлена від ( x , y ) четвертого ступеня.
Наведемо приклад теореми, яка каже безперервність функції від безперервних функцій.
Теорема. Нехай функція f ( x , y , z ) неперервна в точці ( x 0 , y 0 , z 0 ) простору R 3 (точок ( x , y , z ) ), а функції
В
x = П† (u, v), y = П€ (u, v), z = П‡ (u, v)
безперервні в точці ( u 0 , v 0 ) простору R 2 (точок ( u , v ) ). Нехай, крім того,
В
x 0 = П† ( u 0 , v 0 ), y 0 = П€ ( u 0 , v 0 ), z 0 = П‡ ( u 0 , v 0 ) .
Тоді функція F ( u , v ) = f [П† ( u , v ) , П€ ( u , v ), П‡ ( u , v ) ] безупинна (за
( u , v ) ) в точці ( u 0 , v 0 ) .
Доказ. Так як знак межі можна внести під знак характеристики неперервної функції, то
В
Теорема. Функція f ( x , y ) , безперервна в точці ( х 0 , у 0 ) і не рівна нулю в цій точці, зберігає знак числа f ( х 0 , у 0 ) у деякій околиці точки ( х 0 , у 0 ).
За визначенням функція f ( x ) = f ( x 1 , ..., х п ) неперервна в точці х 0 = (Х 0 1 , ..., х 0 п ) , якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі і в самій точці х 0 , і якщо межа її в точці х 0 дорівнює її значенню в ній:
(2)
Умова безперервності f в точці х 0 можна записати в еквівалентній формі:
(2 ')
тобто функція f ( x ) неперервна в точці х 0 , якщо неперервна функція f (х 0 + h ) від h в точці h = 0.
Можна ввести прирощення f в точці х 0 , відповідне збільшенню h = ( h 1 , ..., ...
