h п ) ,
О” h f (х 0 ) = f (х 0 + h ) - f (х 0 )
і на його мові визначити безперервність f в х 0 : функція f неперервна в х 0 , якщо
(2'')
Теорема. Сума, різниця, добуток і приватна безперервних в точці х 0 функцій f ( x ) і П† ( x ) є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у разі приватного П† (х 0 ) в‰ 0.
Зауваження. Прирощення О” h f (х 0 ) називають також повним приростом функції f в точці х 0 .
У просторі R n точок х = ( x 1 , ..., х п ) задамо безліч точок G .
За визначенням х 0 = (Х 0 1 , ..., х 0 п ) є внутрішня точка безлічі G , якщо існує відкритий куля з центром в ньому, повністю належить до G .
Безліч G R n називається відкритим, якщо всі його точки внутрішні.
Кажуть, що функції
В
х 1 = П† 1 (t) , ..., х п = П† п (t) ( a ≤ t ≤ b)
безперервні на відрізку [ a , b ], визначають безперервну криву в R n , що сполучає точки < i> х 1 = (Х 1 1 , ..., х 1 п ) і х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п ) , де х 1 1 = П† 1 (а) , ..., х 1 п = П† п (а) , х 2 1 = П† 1 ( b ) , ..., х 2 п = П† п ( b ) . Букву t називають параметром кривої. p> Безліч G називається зв'язковим, якщо будь-які його дві точки х 1 , х 2 можна з'єднати безперервної кривої, що належить G .
Чіткий відкрите безліч називається областю.
Теорема. Нехай функція f ( x ) визначена і неперервна на R n (у всіх точках R n ). Тоді безліч G точок х , де вона задовольняє нерівності
f ( x ) > з (або f ( x ) < з ), яка б не була постійна з , є відкрите безліч.
Справді, функція F ( x ) = f < i> ( x ) - з неперервна на R n , і безліч усіх точок х , де F ( x ) > 0, збігається з G . Нехай х 0 G , тоді існує куля
| х - х 0 | <О”,
на якому F ( x ) > 0, тобто він належить до G і крапка х 0 G - внутрішня для G .
Випадок з f ( x ) < з доводиться аналогічно.
Таким чином, функція декількох змінних f (М) називається безперервної в точці М 0 , якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:
а) функція f (М) визначена в точці М 0 і поблизу цієї точки;
б) існує межа;
в)
Якщо в точці М 0 порушено хоча б одна з цих умов, то функція в цій точці терпить розрив. Точки розрив можуть утворювати лінії розриву, поверхня розриву і т. д. Функція f (М) називається безперервної в області G , якщо вона неперервна в кожній точці цій галузі.
Приклад 1. Знайти точки розриву функції: z = ln ( x 2 + y 2 ) .
Рішення. Функція z = ln ( x 2 + y 2 ) терпить розрив в точці х = 0, у = 0. Отже, точка Про (0, 0) є крапкою розриву. p> Приклад 2. Знайти...
